.00 №14 из ЕГЭ 2023
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана пирамида 
в основании которой лежит квадрат 
Сечение
пирамиды — четырехугольник 
причем точки 
лежат на
ребрах 
и 
соответственно. Известно, что 
и 
— середины
ребер 
и 
а 
а) Докажите, что 
— трапеция и основания трапеции относятся как
б) Известно, что угол между плоскостью трапеции 
и плоскостью
основания 
равен 
Найдите высоту пирамиды 
если
площадь квадрата 
равна 56, а площадь четырехугольника 
равна
Источники:
а) Будем пользоваться следующей теоремой: если нам даны три попарно пересекающиеся плоскости, то их линии пересечения либо параллельны, либо все пересекаются в одной точке. Из этой теоремы следует, что если две из трех линий пересечения параллельны, то третья линия пересечения также им параллельна.
Так как 
— линия пересечения плоскостей 
и 
— линия пересечения плоскостей 
и 
и 
то
— линия пересечения плоскостей 
и 
— параллельна
Теперь рассмотрим три плоскости: 
и 
Так как 
и
— середины 
и 
то 
следовательно, линия пересечения
плоскостей 
и 
— прямая 
Тогда по теореме Фалеса
Далее имеем: 
значит, 
Но по
условию 
— квадрат, следовательно, 
следовательно,
откуда следует, что 
— трапеция. Также отсюда
следует, что 
Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим три плоскости 
и 
и их линии
пересечения 
и 
Так как 
то
Пусть 
Проведем 
и 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах
Следовательно, 
Пусть 
Тогда так как 
то 
следовательно,
— высота трапеции 
По теореме Фалеса 
Найдем последнее отношение.
По теореме Менелая для 
и прямой 
имеем:
Следовательно, 
По теореме Менелая для 
и прямой 
имеем:
Следовательно, 
значит, 
Проведем 
Тогда 
следовательно, 
— искомая
высота. Пусть 
Тогда 
Так как 
то
Следовательно,
Также заметим, что из 
следует, что 
Тогда
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
