.00 №14 из ЕГЭ 2024
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде 
с основанием 
точка 
— центр основания пирамиды, точка 
— середина ребра 
точка 
делит ребро 
в отношении 
а 
и
а) Докажите, что плоскость 
параллельна прямой 
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 
пересечёт грань
Источники:
а) По условию 
— правильная пирамида, поэтому 
— квадрат. Так
как 
— центр основания 
то 
— середина диагонали 
Тогда
— средняя линия треугольника 
и 
Следовательно,
так как прямая 
параллельна прямой из этой плоскости.
б) Так как 
— квадрат, то его стороны равны. Тогда 
По
условию 
поэтому получаем 
Пусть прямая 
пересекает ребро 
в точке 
Рассмотрим
треугольники 
и 
В них 
так как 
— середина 
как накрест лежащие углы, образованные параллельными
прямыми 
и 
и секущей 
как вертикальные.
Значит, 
по стороне и двум прилежащим к ней углам.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому
Тогда 
Значит, 
Чтобы построить сечение пирамиды плоскостью 
через точку 
проведём прямую, параллельную 
эта прямая будет лежать в плоскости
Пусть она пересекает ребро 
в точке 
Тогда 
— это
сечение пирамиды 
плоскостью 
и нам нужно найти отрезок
Диагонали основания 
и 
равны 
поэтому 
Мы
знаем, что 
Найдём боковое ребро 
пирамиды по теореме
Пифагора из прямоугольного треугольника 
Тогда так как 
— правильная пирамида, то 
Так как 
и 
то получаем, что
Заметим, что 
так как 
В треугольнике 
известно, что 
тогда 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
