Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#13333

Дана правильная треугольная пирамида $SABC,$ сторона основания $AB = 16,$ высота $SH = 10,$ точка $K$ — середина $AS.$ Плоскость, проходящая через точку $K$ и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра $SB$ и $SC$ в точках $Q$ и $P$ соответственно.

а) Докажите, что площадь $P QBC$ относится к площади $BSC$ как $3:4.$

б) Найдите объем пирамиды $KBQP C.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 31

Показать ответ и решение

а) Обозначим плоскость $(KP Q)$ через $α.$ По условию плоскости $α$ и $(ABC )$ параллельны, следовательно, они пересекают плоскость $(ASB)$ по параллельным прямым. Плоскость $(ABC )$ пересекает плоскость $(ASB )$ по прямой $AB,$ плоскость $α$ пересекает плоскость $(ASB )$ по прямой $KQ.$ Тогда получаем, что $KQ ∥ AB.$ По аналогичным соображениям $KP ∥AC.$

Далее, $KQ ∥ AB,$ причем $K$ — середина $AS,$ следовательно, $KQ$ — средняя линия в треугольнике $ASB$ и точка $Q$ — середина $SB.$ Аналогично получаем, что точка $P$ — середина $SC.$ Тогда $QP$ — средняя линия треугольника $BSC,$ параллельная стороне $BC.$ Следовательно, $1 PQ = 2BC.$

$PIC$

Обозначим через $h$ длину высоты треугольника $SCB,$ проведенной из вершины $S.$ Так как $QP$ — средняя линия, то она делит эту высоту пополам. Следовательно, высота трапеции $BQP C$ равна $1h. 2$ Теперь можем найти отношение площади $BQP C$ к площади $BSC :$

SBQPC 12 (PQ + BC )⋅ 12h -SBSC- = ----1BC-⋅h----= ( 2 ) = 12-12BC-+-BC--= 3 BC 4

б) Расписав объем пирамиды $SABC$ через объемы ее составных частей, получим

V = V + V + V SABC SKPQ KABC KBQPC VKBQPC = VSABC − VSKPQ − VKABC

Найдем все эти объемы, чтобы затем найти объем пирамиды $KBQP C.$

Площадь правильного треугольника $ABC$ со стороной $AB = 16$ равна

1 √- SABC = 2AB2 sin60∘ = 64 3

$PIC$

Высота $SH$ пирамиды $SABC$ равна 10, тогда ее объем равен

VSABC = 1SABC ⋅SH = 6√40 3 3

Далее, найдем следующие отрезки как средние линии соответствующих треугольников:

1 1 1 KP = 2AC, KQ = 2 AB, QP = 2BC

Следовательно, треугольник $KQP$ подобен треугольнику $ABC$ по трем сторонам с коэффициентом $1:2.$ Тогда получаем

( )2 √- SKQP = 1 SABC = 16 3 2

Пусть $′ H$ — точка пересечения $SH$ с плоскостью $α.$ Далее, $α ∥(ABC ),$ следовательно, $′ SH$ — высота пирамиды $SKQP.$ Так как $AH$ и $′ KH$ — прямые пересечения плоскости $(ASH )$ с параллельными плоскостями $(ABC )$ и $α,$ то они параллельны. Тогда в треугольнике $ASH$ отрезок $KH ′$ проходит через середину $AS$ и параллелен $AH.$ Значит, $KH ′$ — средняя линия и

SH ′ = 1SH = 5 2

$PIC$

Тогда можем найти объем пирамиды $SKP Q :$

1 ′ 1 √ - -80- VSKPQ = 3SKQP ⋅SH = 3 ⋅16 3⋅5= √3-

Высота из вершины $K$ пирамиды $KABC$ равна $H ′H =5,$ так как $α ∥(ABC ),$ а $HH ′$ и есть расстояние между этими плоскостями. Тогда можем найти объем пирамиды $KABC :$

VKABC = 1SABC ⋅HH ′ = 1 ⋅64√3 ⋅5= 3√20 3 3 3

Осталось вычислить объем $KBQP C :$

VKBQPC = VSABC − VSKPQ − VKABC = = 6√40− √80-− 3√20 = 2√40-= 80√3 3 3 3 3

Ответ:

б) $√ - 80 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90050

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ стороны основания $ABC$ равны 12, а боковые рёбра равны 25. На рёбрах $AB,$ $AC,$ и $SA$ отмечены точки $F,E$ и $K$ соответственно. Известно, что $AE = AF = 10,$ $AK = 15.$

a) Докажите, что объём пирамиды $KAEF$ составляет $5- 12$ от объёма пирамиды $SABC.$

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $(KEF ).$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Треугольники $ACB$ и $AEF$ подобны, так как $∠A$ — общий угол этих треугольников и $AE- = 10= AF. AC 12 AB$

Коэффициент подобия этих треугольников равен $10 5 k = 12 = 6.$ Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому получаем

SAEF- 2 25 SABC =k = 36.

Пусть $SH$ — высота пирамиды. Опустим из точки $K$ перпендикуляр $KK1$ на плоскость основания, при этом получим, что точка $K 1$ лежит на прямой $AH.$

$PIC$

Треугольники $AKK1$ и $ASH$ подобны, так как $∠A$ — общий угол этих треугольников и $∠AK1K = ∠AHS = 90∘.$ Тогда

KK1 AK 15 3 -SH- = AS-= 25 = 5.

Тогда

VKAEF 1SAEF ⋅KK1 25 3 5 -VSABC- = 31---------= 36-⋅5 = 12. 3SABC ⋅SH

б) Треугольник $ASC$ равнобедренный, поэтому

1AC cos∠SAC = 2---= 6-. AS 25

По теореме косинусов для $△ AKE :$

KE2 = AK2 + AE2 − 2⋅AK ⋅KE ⋅cos∠KAE = 6 = 225 +100− 2⋅15⋅10 ⋅25 = 253 √--- KE = 253

Треугольники $KAE$ и $KAF$ равны, так как $AK$ — общая сторона этих треугольников, $AF = AE$ и $∠KAE = ∠KAF,$ так как пирамида правильная. Тогда $KF = KE = √253.$

Треугольники $AEF$ и $ACB$ подобны, поэтому $△AEF$ равносторонний и $EF =10.$

Пусть $P$ — середина $EF.$ Тогда $EP = PF = 5.$

Найдём $KP$ по теореме Пифагора из $△ KP E :$

2 2 2 KP = KE − EP =√253− 25= 228 KP = 2 57

Тогда

SKFE = 1KP ⋅FE = 1 ⋅2√57⋅10= 10√57. 2 2

Ответ:

б) $√ -- 10 57$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Получен обоснованный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90051

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK :KC =2 :1,$ а $AB = 6$ и $√ - SO = 3 7.$

а) Докажите, что плоскость $(OMK )$ параллельна прямой $SA.$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $(OMK )$ пересечёт грань $SAD.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) По условию $SABCD$ — правильная пирамида, поэтому $ABCD$ — квадрат. Так как $O$ — центр основания $ABCD,$ то $O$ — середина диагонали $AC.$ Тогда $MO$ — средняя линия треугольника $SAC$ и $SA ∥MO.$ Следовательно, $SA ∥ (OMK ),$ так как прямая $SA$ параллельна прямой из этой плоскости.

$PIC$

б) Так как $ABCD$ — квадрат, то его стороны равны. Тогда $BC =AB = 6.$ По условию $BK :KC =2 :1,$ поэтому получаем $BK = 4,$ $CK = 2.$

Пусть прямая $KO$ пересекает ребро $AD$ в точке $T.$ Рассмотрим треугольники $CKO$ и $ATO.$ В них $CO = AO,$ так как $O$ — середина $AC,$ $∠KCO = ∠T AO$ как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $CA,$ $∠KOC = ∠TOA$ как вертикальные. Значит, $△ CKO = △AT O$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому $AT = CK = 2.$ Тогда $DT = AD − AT = 4.$ Значит, $DT :TA = 2:1.$

Чтобы построить сечение пирамиды плоскостью $(OMK ),$ через точку $T$ проведём прямую, параллельную $SA,$ эта прямая будет лежать в плоскости $(ASD ).$ Пусть она пересекает ребро $SD$ в точке $P.$ Тогда $T PMK$ — это сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $(OMK ),$ и нам нужно найти отрезок $P T.$ Диагонали основания $AC$ и $BD$ равны $6√2,$ поэтому $CO = 3√2.$ Мы знаем, что $SO = 3√7.$ Найдём боковое ребро $SC$ пирамиды по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $SOC :$

∘ (-√-)2--(-√-)2- √------ √ -- SC = 3 7 + 3 2 = 63+ 18= 81= 9.

Тогда так как $SABCD$ — правильная пирамида, то $SA = SB = SC = SD = 9.$

Так как $DT :T A= 2 :1$ и $TP ∥AS,$ то получаем, что

DP :P S = 2 :1 ⇒ PD = 6, SP = 3.

Заметим, что $△ ADS ∼ △T DP,$ так как $SA ∥ PT.$ В треугольнике $SAD$ известно, что $SA =SD =9,$ тогда $PT = PD = 6.$

Ответ: б) 6

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Получен обоснованный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90053

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK :KC =3 :1,$ а $AB = 2$ и $√ -- SO = 14.$

а) Докажите, что плоскость $(OMK )$ параллельна прямой $SA.$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $(OMK )$ пересечёт грань $SAD.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) По условию $SABCD$ — правильная пирамида, поэтому $ABCD$ — квадрат. Так как $O$ — центр основания $ABCD,$ то $O$ — середина диагонали $AC.$ Тогда $MO$ — средняя линия треугольника $SAC$ и $SA ∥MO.$ Следовательно, $SA ∥ (OMK ),$ так как прямая $SA$ параллельна прямой из этой плоскости.

$PIC$

б) Так как $ABCD$ — квадрат, то его стороны равны. Тогда $BC =AB = 2.$ По условию $BK :KC =3 :1,$ поэтому получаем $BK = 1,5,$ $CK =0,5.$

Пусть прямая $KO$ пересекает ребро $AD$ в точке $T.$ Рассмотрим треугольники $CKO$ и $ATO.$ В них $CO = AO,$ так как $O$ — середина $AC,$ $∠KCO = ∠T AO$ как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $CA,$ $∠KOC = ∠TOA$ как вертикальные. Значит, $△ CKO = △AT O$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому $AT = CK = 0,5.$ Тогда $DT = AD − AT =1,5.$ Значит, $DT :TA = 3:1.$

Чтобы построить сечение пирамиды плоскостью $(OMK ),$ через точку $T$ проведём прямую, параллельную $SA,$ эта прямая будет лежать в плоскости $(ASD ).$ Пусть она пересекает ребро $SD$ в точке $P.$ Тогда $TPMK$ — это сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $(OMK ),$ и нам нужно найти отрезок $P T.$

Диагонали основания $AC$ и $BD$ равны $√- 2 2,$ поэтому $√- CO = 2.$ Мы знаем, что $√ -- SO = 14.$ Найдём боковое ребро $SC$ пирамиды по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $SOC :$

∘ -------------- SC = (√2)2+ (√14)2 = √2+-14= √16-= 4.

Тогда так как $SABCD$ — правильная пирамида, то $SA = SB = SC = SD = 4.$

Так как $DT :T A= 3 :1$ и $TP ∥AS,$ то получаем, что

DP :P S = 3 :1 ⇒ PD = 3, SP = 1.

Заметим, что $△ ADS ∼ △T DP,$ так как $SA ∥ PT.$ В треугольнике $SAD$ известно, что $SA =SD =4,$ тогда $PT = PD = 3.$

Ответ: б) 3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Получен обоснованный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90054

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK :KC =3 :2,$ а $AB = 4$ и $√ -- SO = 2 23.$

а) Докажите, что плоскость $(OMK )$ параллельна прямой $SA.$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $(OMK )$ пересечёт грань $SAD.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) По условию $SABCD$ — правильная пирамида, поэтому $ABCD$ — квадрат. Так как $O$ — центр основания $ABCD,$ то $O$ — середина диагонали $AC.$ Тогда $MO$ — средняя линия треугольника $SAC$ и $SA ∥MO.$ Следовательно, $SA ∥ (OMK ),$ так как прямая $SA$ параллельна прямой из этой плоскости.

$PIC$

б) Так как $ABCD$ — квадрат, то его стороны равны. Тогда $BC =AB = 4.$ По условию $BK :KC =3 :2,$ поэтому получаем $BK = 2,4,$ $CK =1,6.$

Пусть прямая $KO$ пересекает ребро $AD$ в точке $T.$ Рассмотрим треугольники $CKO$ и $ATO.$ В них $CO = AO,$ так как $O$ — середина $AC,$ $∠KCO = ∠T AO$ как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $CA,$ $∠KOC = ∠TOA$ как вертикальные. Значит, $△ CKO = △AT O$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому $AT = CK = 1,6.$ Тогда $DT = AD − AT =2,4.$ Значит, $DT :TA = 3:2.$

Чтобы построить сечение пирамиды плоскостью $(OMK ),$ через точку $T$ проведём прямую, параллельную $SA,$ эта прямая будет лежать в плоскости $(ASD ).$ Пусть она пересекает ребро $SD$ в точке $P.$ Тогда $TPMK$ — это сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $(OMK ),$ и нам нужно найти отрезок $P T.$

Диагонали основания $AC$ и $BD$ равны $√ - 4 2,$ поэтому $√- CO = 2 2.$ Мы знаем, что $√ -- SO = 2 23.$ Найдём боковое ребро $SC$ пирамиды по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $SOC :$

∘ ---------------- SC = (2√2)2 +(2√23)2 = √8+-92= √100-= 10.

Тогда так как $SABCD$ — правильная пирамида, то $SA = SB = SC = SD = 10.$

Так как $DT :T A= 3 :2$ и $TP ∥AS,$ то получаем, что

DP :P S = 3 :2 ⇒ PD = 6, SP = 4.

Заметим, что $△ ADS ∼ △T DP,$ так как $SA ∥ PT.$ В треугольнике $SAD$ известно, что $SA =SD =10,$ тогда $P T =P D = 6.$

Ответ: б) 6

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Получен обоснованный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90057

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно.

a) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна ребрам $AB$ и $CD.$

б) Плоскость $α$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K.$ Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $α,$ если известно, что $BK = 1,$ $KC =5.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

а) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны и все грани являются равными правильными треугольниками. Так как $AN$ и $BN$ — медианы в равных правильных треугольниках $ADC$ и $DBC,$ то $AN = BN.$ Тогда $△ ANB$ равнобедренный, следовательно, медиана $NM,$ проведенная к основанию, также является и высотой. Таким образом, $NM ⊥ AB.$ Аналогично $△ DMC$ равнобедренный и $MN$ — медиана и высота этого треугольника, то есть $MN ⊥ CD.$

$PIC$

б) Если $MN ⊥α,$ то $α$ проходит через прямые, параллельные $AB$ и $CD,$ то есть $AB ∥α,$ $CD ∥α.$ Тогда $α$ пересекает плоскость $(ABC )$ по прямой $PK ∥ AB,$ а плоскости $(ACD )$ и $(BCD )$ по прямым $PG$ и $KH$ соответственно, параллельным $CD.$ Тогда $P KHG$ — сечение тетраэдра плоскостью $α.$

Далее имеем $CD ⊥ AN$ и $CD ⊥BN,$ так как $AN$ и $BN$ — медианы в равносторонних треугольниках. Тогда $CD ⊥ (ANB ),$ следовательно, $CD ⊥ AB.$ Значит, $PKHG$ — прямоугольник.

Треугольники $BKH$ и $BCD$ подобны, так как $KH ∥ CD,$ откуда

BK--= KH-- ⇔ 1 = KH-- ⇔ KH = 1 BC CD 6 6

Треугольники $CP K$ и $CAB$ подобны, так как $P K ∥AB,$ откуда

PK- CK- P-K 5 AB = CB ⇔ 6 = 6 ⇔ PK = 5

Следовательно, площадь сечения $P KHG$ равна

SPKHG = KH ⋅PK = 1⋅5 =5

Ответ: б) 5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Получен обоснованный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90059

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $α$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K.$

a) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна ребрам $AB$ и $CD.$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $α,$ если известно, что $BK = 1,$ $KC =3.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

а) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны и все грани являются равными правильными треугольниками. Так как $AN$ и $BN$ — медианы в равных правильных треугольниках $ADC$ и $DBC,$ то $AN = BN.$ Тогда $△ ANB$ равнобедренный, следовательно, медиана $NM,$ проведенная к основанию, также является и высотой. Таким образом, $NM ⊥ AB.$ Аналогично $△ DMC$ равнобедренный и $MN$ — медиана и высота этого треугольника, то есть $MN ⊥ CD.$

$PIC$

б) Если $MN ⊥α,$ то $α$ проходит через прямые, параллельные $AB$ и $CD,$ то есть $AB ∥α,$ $CD ∥α.$ Тогда $α$ пересекает плоскость $(ABC )$ по прямой $PK ∥ AB,$ а плоскости $(ACD )$ и $(BCD )$ по прямым $PG$ и $KH$ соответственно, параллельным $CD.$ Тогда $P KHG$ — сечение тетраэдра плоскостью $α.$

Далее имеем $CD ⊥ AN$ и $CD ⊥BN,$ так как $AN$ и $BN$ — медианы в равносторонних треугольниках. Тогда $CD ⊥ (ANB ),$ следовательно, $CD ⊥ AB.$ Значит, $PKHG$ — прямоугольник.

Треугольники $BKH$ и $BCD$ подобны, так как $KH ∥ CD,$ откуда

BK--= KH-- ⇔ 1 = KH-- ⇔ KH = 1 BC CD 4 4

Треугольники $CP K$ и $CAB$ подобны, так как $P K ∥AB,$ откуда

PK- CK- P-K 3 AB = CB ⇔ 4 = 4 ⇔ PK = 3

Следовательно, площадь сечения $P KHG$ равна

SPKHG = KH ⋅PK = 1⋅3 =3

Ответ: б) 3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Получен обоснованный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90061

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания $ABCD.$ Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN :ND = 1:2.$ Плоскость $α,$ проходящая через точки $O$ и $N$ и параллельная ребру $SA,$ пересекает ребро $SC$ в точке $M.$ Известно, что $SA = AB = 6.$

а) Докажите, что точка $M$ — середина $SC.$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $α$ пересечёт грань $BSC.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а) В правильной четырехугольной пирамиде основание $ABCD$ является квадратом, тогда $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD,$ значит, $O$ — середина $AC$ и $BD.$

Плоскость $α$ пересекает плоскость $(ASC )$ и параллельна прямой $SA,$ лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость $α$ пересекает $(ASC )$ по прямой, параллельной $SA.$ Таким образом, $SA ∥MO.$ Следовательно, $MO$ — средняя линия треугольника $CAS,$ так как $MO ∥SA$ и $O$ — середина $AC.$ Значит, $M$ — середина $SC.$

$PIC$

б) Плоскость $α$ пересекает плоскость грани $ASD$ и параллельна прямой $SA,$ лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость $α$ пересекает $ASD$ по прямой, параллельной $SA.$

Пусть $L$ — точка пересечения плоскости $α$ и ребра $AD.$ Тогда $NL ∥ SA.$ Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках

DL-= DN--= 2. LA NS 1

По условию $SABCD$ — правильная пирамида, $AB = SA =6.$ Значит, все ребра пирамиды равны 6. Тогда

DL = 4, AL =2.

Плоскость $α$ проходит через точки $L$ и $O,$ следовательно, пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой $LO.$ Пусть $LO$ пересекает $BC$ в точке $K.$

$PIC$

Рассмотрим $△ AOL$ и $△ COK.$ В них $AO = CO,$ так как $O$ — середина $AC,$ $∠OAL = ∠OCK$ как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AC,$ $∠AOL =∠COK$ как вертикальные. Значит, $△ AOL = △COK$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому $CK = AL =2.$ Тогда $BK = BC − CK = 4.$

Так как по условию точка $M$ — середина отрезка $SC$ и $SC = 6,$ то $CM = 3.$

Нам нужно найти длину отрезка $MK,$ так как по нему плоскость $α$ пересекает грань $BSC.$

Все ребра пирамиды равны, поэтому $△ BSC$ — равносторонний. Тогда $∠SCB = 60∘.$ По теореме косинусов для $△ MCK :$

MK2 = CM2 + CK2 − 2⋅CM ⋅CK ⋅cos∠MCK MK2 = 32+ 22 − 2 ⋅3⋅2⋅ 1 2 MK2 = 9+ 4− 6 MK2 = 7 √- MK = 7

Ответ:

б) $√ - 7$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Получен обоснованный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90062

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания $ABCD.$ Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN :ND = 2:3.$ Плоскость $α,$ проходящая через точки $O$ и $N$ и параллельная ребру $SA,$ пересекает ребро $SC$ в точке $M.$ Известно, что $SA = AB = 10.$

а) Докажите, что точка $M$ — середина $SC.$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $α$ пересечёт грань $BSC.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а) В правильной четырехугольной пирамиде основание $ABCD$ является квадратом, тогда $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD,$ значит, $O$ — середина $AC$ и $BD.$

Плоскость $α$ пересекает плоскость $(ASC )$ и параллельна прямой $SA,$ лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость $α$ пересекает $(ASC )$ по прямой, параллельной $SA.$ Таким образом, $SA ∥MO.$ Следовательно, $MO$ — средняя линия треугольника $CAS,$ так как $MO ∥SA$ и $O$ — середина $AC.$ Значит, $M$ — середина $SC.$

$PIC$

б) Плоскость $α$ пересекает плоскость грани $ASD$ и параллельна прямой $SA,$ лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость $α$ пересекает $ASD$ по прямой, параллельной $SA.$

Пусть $L$ — точка пересечения плоскости $α$ и ребра $AD.$ Тогда $NL ∥ SA.$ Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках

DL-= DN--= 3. LA NS 2

По условию $SABCD$ — правильная пирамида, $AB = SA =10.$ Значит, все ребра пирамиды равны 10. Тогда

DL = 6, AL =4.

Плоскость $α$ проходит через точки $L$ и $O,$ следовательно, пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой $LO.$ Пусть $LO$ пересекает $BC$ в точке $K.$

$PIC$

Рассмотрим $△ AOL$ и $△ COK.$ В них $AO = CO,$ так как $O$ — середина $AC,$ $∠OAL = ∠OCK$ как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AC,$ $∠AOL =∠COK$ как вертикальные. Значит, $△ AOL = △COK$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому $CK = AL =4.$ Тогда $BK = BC − CK = 6.$

Так как по условию точка $M$ — середина отрезка $SC$ и $SC = 10,$ то $CM = 5.$

Нам нужно найти длину отрезка $MK,$ так как по нему плоскость $α$ пересекает грань $BSC.$

Все ребра пирамиды равны, поэтому $△ BSC$ — равносторонний. Тогда $∠SCB = 60∘.$ По теореме косинусов для $△ MCK :$

MK2 = CM2 + CK2 − 2⋅CM ⋅CK ⋅cos∠MCK MK2 = 52+ 42 − 2 ⋅5⋅4⋅ 1 2 MK2 = 25+ 16 − 20 MK2 = 21 √ -- MK = 21

Ответ:

б) $√ -- 21$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Получен обоснованный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90064

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания $ABCD.$ Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN :ND = 1:3.$ Плоскость $α,$ проходящая через точки $O$ и $N$ и параллельная ребру $SA,$ пересекает ребро $SC$ в точке $M.$ Известно, что $SA = AB = 4.$

а) Докажите, что точка $M$ — середина $SC.$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $α$ пересечёт грань $BSC.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а) В правильной четырехугольной пирамиде основание $ABCD$ является квадратом, тогда $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD,$ значит, $O$ — середина $AC$ и $BD.$

Плоскость $α$ пересекает плоскость $(ASC )$ и параллельна прямой $SA,$ лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость $α$ пересекает $(ASC )$ по прямой, параллельной $SA.$ Таким образом, $SA ∥MO.$ Следовательно, $MO$ — средняя линия треугольника $CAS,$ так как $MO ∥SA$ и $O$ — середина $AC.$ Значит, $M$ — середина $SC.$

$PIC$

б) Плоскость $α$ пересекает плоскость грани $ASD$ и параллельна прямой $SA,$ лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость $α$ пересекает $ASD$ по прямой, параллельной $SA.$

Пусть $L$ — точка пересечения плоскости $α$ и ребра $AD.$ Тогда $NL ∥ SA.$ Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках

DL-= DN--= 3. LA NS 1

По условию $SABCD$ — правильная пирамида, $AB = SA =4.$ Значит, все ребра пирамиды равны 4. Тогда

DL = 3, AL =1.

Плоскость $α$ проходит через точки $L$ и $O,$ следовательно, пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой $LO.$ Пусть $LO$ пересекает $BC$ в точке $K.$

$PIC$

Рассмотрим $△ AOL$ и $△ COK.$ В них $AO = CO,$ так как $O$ — середина $AC,$ $∠OAL = ∠OCK$ как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми $AD$ и $BC$ и секущей $AC,$ $∠AOL =∠COK$ как вертикальные. Значит, $△ AOL = △COK$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому $CK = AL =1.$ Тогда $BK = BC − CK = 3.$

Так как по условию точка $M$ — середина отрезка $SC$ и $SC = 4,$ то $CM = 2.$

Нам нужно найти длину отрезка $MK,$ так как по нему плоскость $α$ пересекает грань $BSC.$

Все ребра пирамиды равны, поэтому $△ BSC$ — равносторонний. Тогда $∠SCB = 60∘.$ По теореме косинусов для $△ MCK :$

MK2 = CM2 + CK2 − 2⋅CM ⋅CK ⋅cos∠MCK MK2 = 22+ 12 − 2 ⋅2⋅1⋅ 1 2 MK2 = 4+ 1− 2 MK2 = 3 √- MK = 3

Ответ:

б) $√ - 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90065

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины ребер $AB$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R.$ Прямые $RM$ и $RK$ пересекают ребра $AS$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причем $2BL = 3LC.$

a) Докажите, что прямые $MK$ и $NL$ пересекаются.

б) Найдите отношение $AN :NS.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим плоскость $(MRK ).$ Точка $N$ лежит на прямой $MR,$ поэтому лежит и в плоскости $(MRK ).$ Точка $L$ лежит на прямой $KR,$ поэтому лежит и в плоскости $(MRK ).$ Значит, прямые $NL$ и $MK$ лежат в плоскости $(MRK ).$

$PIC$

$KLMN$ — четырехугольник, а $MK$ и $NL$ — его диагонали, следовательно, прямые, содержащие их, пересекаются.

б) По теореме Менелая для треугольника $SBC$ и прямой $KL :$

SK CL BR KC-⋅LB- ⋅RS-= 1 1⋅ 2 ⋅ BR-= 1 1 3 RS BR-= 3 RS 2

По теореме Менелая для треугольника $SAB$ и прямой $MN :$

SN AM BR NA- ⋅MB--⋅RS-= 1 SN 1 3 NA- ⋅1 ⋅2 = 1 AN-= 3 NS 2

Ответ: б) 3 : 2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Получен обоснованный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90069

Дана правильная пирамида $SABC,$ точки $K$ и $M$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. Точки $N$ и $L$ на ребрах $BC$ и $SA$ соответственно расположены таким образом, что $AL = 4LS$ и прямые $NL$ и $MK$ пересекаются.

а) Докажите, что прямые $LK,$ $MN$ и $BS$ пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение $CN :NB.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Так как прямые $NL$ и $MK$ пересекаются, то точки $N,$ $L,$ $M,$ $K$ лежат в одной плоскости. Тогда плоскости $(NML )$ и $(SBC )$ пересекаются по прямой $MN,$ плоскости $(NML )$ и $(SAB )$ пересекаются по прямой $KL,$ плоскости $(SAB )$ и $(SBC )$ пересекаются по прямой $SB.$ Если три плоскости попарно пересекаются по трём прямым, то либо эти прямые параллельны друг другу, либо это одна и та же прямая, либо они пересекаются в одной точке.

Параллельными эти прямые быть не могут, иначе получаем $KL ∥ SB ∥MN$ и так как $K$ — это середина $AB,$ то $KL$ будет средней линией треугольника $ASB.$ Но по условию точка $L$ не является серединой $SA.$ Противоречие.

Совпадать эти прямые тоже не могут, так как прямые $KL$ и $MN$ лежат в плоскостях разных граней. Значит, прямые $LK,$ $MN$ и $BS$ пересекаются в одной точке.

$PIC$

б) По теореме Менелая для треугольника $ASB$ и прямой $KL :$

BK-⋅ AL ⋅ ST-= 1 KA LS TB 1⋅ 4 ⋅ ST-= 1 1 1 TB ST- 1 TB = 4

По теореме Менелая для треугольника $SBC$ и прямой $MN :$

ST- ⋅ BN-⋅ CM-= 1 T B NC MS 1 ⋅ BN-⋅ 1= 1 4 NC 1 CN-- 1 NB = 4

Ответ: б) 1 : 4

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Получен обоснованный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90070

Дана правильная пирамида $SABC,$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. Точки $L$ и $N$ на ребрах $BC$ и $SA$ соответственно расположены таким образом, что $2AN = 3NS$ и прямые $LN$ и $KM$ пересекаются.

а) Докажите, что прямые $NM,$ $KL$ и $BS$ пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение $BL :LC.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Так как прямые $LN$ и $KM$ пересекаются, то точки $L,$ $N,$ $K,$ $M$ лежат в одной плоскости. Тогда плоскости $(LKN )$ и $(SBC )$ пересекаются по прямой $KL,$ плоскости $(LKN )$ и $(SAB )$ пересекаются по прямой $MN,$ плоскости $(SAB )$ и $(SBC )$ пересекаются по прямой $SB.$ Если три плоскости попарно пересекаются по трём прямым, то либо эти прямые параллельны друг другу, либо это одна и та же прямая, либо они пересекаются в одной точке.

Параллельными эти прямые быть не могут, иначе получаем $MN ∥SB ∥KL$ и так как $M$ — это середина $AB,$ то $MN$ будет средней линией треугольника $ASB.$ Но по условию точка $N$ не является серединой $SA.$ Противоречие.

Совпадать эти прямые тоже не могут, так как прямые $MN$ и $KL$ лежат в плоскостях разных граней. Значит, прямые $NM,$ $KL$ и $BS$ пересекаются в одной точке.

$PIC$

б) По теореме Менелая для треугольника $ASB$ и прямой $MN :$

BM--⋅ AN ⋅ ST-= 1 MA NS TB 1⋅ 3 ⋅ ST-= 1 1 2 TB ST- 2 TB = 3

По теореме Менелая для треугольника $SBC$ и прямой $KL :$

ST-⋅ BL-⋅ CK = 1 TB LC KS 2⋅ BL-⋅ 1= 1 3 LC 1 BL- 3 LC = 2

Ответ: б) 3 : 2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Получен обоснованный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90072

Дана правильная пирамида $SABC,$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. Точки $L$ и $N$ на ребрах $BC$ и $SA$ соответственно расположены таким образом, что $AN =3NS$ и прямые $LN$ и $KM$ пересекаются.

а) Докажите, что прямые $NM,$ $KL$ и $BS$ пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение $BL :LC.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Так как прямые $LN$ и $KM$ пересекаются, то точки $L,$ $N,$ $K,$ $M$ лежат в одной плоскости. Тогда плоскости $(LKN )$ и $(SBC )$ пересекаются по прямой $KL,$ плоскости $(LKN )$ и $(SAB )$ пересекаются по прямой $MN,$ плоскости $(SAB )$ и $(SBC )$ пересекаются по прямой $SB.$ Если три плоскости попарно пересекаются по трём прямым, то либо эти прямые параллельны друг другу, либо это одна и та же прямая, либо они пересекаются в одной точке.

Параллельными эти прямые быть не могут, иначе получаем $MN ∥SB ∥KL$ и так как $M$ — это середина $AB,$ то $MN$ будет средней линией треугольника $ASB.$ Но по условию точка $N$ не является серединой $SA.$ Противоречие.

Совпадать эти прямые тоже не могут, так как прямые $MN$ и $KL$ лежат в плоскостях разных граней. Значит, прямые $NM,$ $KL$ и $BS$ пересекаются в одной точке.

$PIC$

б) По теореме Менелая для треугольника $ASB$ и прямой $MN :$

BM--⋅ AN ⋅ ST-= 1 MA NS TB 1⋅ 3 ⋅ ST-= 1 1 1 TB ST- 1 TB = 3

По теореме Менелая для треугольника $SBC$ и прямой $KL :$

ST-⋅ BL-⋅ CK = 1 TB LC KS 1⋅ BL-⋅ 1= 1 3 LC 1 BL- 3 LC = 1

Ответ: б) 3 : 1

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Получен обоснованный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#88575

В правильной треугольной призме $ABCA1B1C1$ отмечены середины $M$ и $N$ ребер $A1C1$ и $BC$ соответственно.

а) Докажите, что плоскость $(AB1M )$ делит отрезок $A1N$ в отношении 2:3, считая от вершины $A1.$

б) Найдите объем пирамиды $AMNB1,$ если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 4.

Источники: ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Пусть $K$ — середина ребра $B1C1.$ Рассмотрим плоскость $(A1KN )$ — она сечет призму по прямоугольнику $AA1KN$ и содержит $A1N.$ Следовательно, точка $O$ пересечения отрезка $A1N$ и плоскости $(AB1M )$ лежит на линии пересечения плоскостей $(AB1M )$ и $(A1KN ).$ Эта линия пересечения — прямая $AQ,$ где $Q$ — точка пересечения $B1M$ и $A1K.$ Следовательно, $O = AQ ∩ A1N.$

Так как $Q$ — точка пересечения медиан $△A1B1C1,$ то $A1Q :QK = 2:1.$ Рассмотрим прямоугольник $AA KN. 1$ В нем $△AON ∼ △A OQ, 1$ следовательно,

A1O- = A1Q-= 2 ON AN 3

Что и требовалось доказать.

$PIC$

б) Для искомого объема имеем:

VAMNB1 = V◟ABCA◝1◜B1C1◞ − V◟AM◝A◜1B1◞ − V◟B1N◝B◜A◞ − прав.призма прямоуг.пирамида прямоуг.пирамида − VNLCKMC1 − VMALN- − VNB1KM- ◟прав.◝◜призм◞а пря◟моу◝г.◜пир◞амида пря◟моу◝г.◜пир◞амида

Так как

2√- VABCA1B1C1 = 4⋅ 6-3-= 36√3- 4√- 1 62-3- √- VAMA1B1 = 3 ⋅4⋅ 8 = 6 3 V = 6√3- B1NBA √- 32-3- √- VNLCKMC1 = 4⋅ 4 = 9 3 1 62√3- √ - VMALN = 3 ⋅4 ⋅-16-= 3 3 2√ - VNB1KM = 1 ⋅4 ⋅ 6-3-=3√3- 3 16

Тогда

√ - √- √- √ - √- √ - √- VAMNB1 =36 3− 6 3− 6 3 − 9 3− 3 3− 3 3= 9 3

Ответ:

б) $√ - 9 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#83767

В прямоугольном параллелепипеде $ACBDA1B1C1D1$ известно, что $AB = 3,$ $AD =4,$ $AA1 =6.$ Через точки $B1$ и $D$ параллельно $AC$ проведена плоскость, пересекающая ребро $CC1$ в точке $K.$

а) Докажите, что $K$ — середина $CC1.$

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения.

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Назовем плоскость, проходящую через $B1$ и $D$ параллельно $AC,$ плоскостью $α.$ Рассмотрим плоскость $(AA1C1 ).$ Эта плоскость содержит $AC$ и пересекает $B1D$ в середине — точке $O.$ Сечение параллелепипеда этой плоскостью — прямоугольник $AA1C1C.$ Проведем через точку $O$ прямую $MK ∥AC.$ Тогда $MK ⊂ α.$ Следовательно, $B1KDM$ — сечение параллелепипеда плоскостью $α.$

$PIC$

Так как $O$ — середина $B1D,$ то $O$ — точка пересечения диагоналей параллелепипеда, следовательно, $O$ — середина диагонали $AC1.$ Значит, по теореме Фалеса для $△AC1C,$ где $OK ∥AC,$ имеем: $K$ — середина $CC1.$ Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим многогранник $ABCDKB1M.$ Его объем равен половине объема параллелепипеда: $V = 1 ⋅3 ⋅4⋅6= 36. 2$ Если из этого объема вычесть объемы пирамид $MABD$ и $KCBD,$ каждый из которых равен $1 1 3 ⋅3⋅2 ⋅3⋅4,$ то получим объем пирамиды $BB1KDM.$

С другой стороны, если $ρ$ — расстояние от точки $B$ до плоскости $α,$ то объем пирамиды $BB1KDM$ равен $VBB1KDM = 1 ⋅ρ⋅SB1KDM . 3$ Следовательно

1 1 1 36− 2⋅3 ⋅3⋅2 ⋅3 ⋅4= 3 ⋅ρ ⋅SB1KDM

Из этого равенства можно найти $ρ,$ если найти площадь сечения.

По теореме Пифагора

∘ ----------- B1K = B1C21 +C1K2 = 5 KD =∘CD2--+-CK2-= 3√2- ∘ ---------------- √ -- B1D = AB2 +AD2 + BB21 = 61

Пусть $φ = ∠B1KD.$ Тогда по теореме косинусов из $△B1KD :$

B1K2-+-KD2-−-B1D2- -3-- cosφ = 2 ⋅B1K ⋅KD = −5√2

Тогда $√-- sinφ = -4√1. 5 2$ Так как $B1KDM$ — параллелограмм (плоскость $α$ пересекает параллельные грани параллелепипеда по параллельным прямым), то получаем

√ -- SB1KDM = B1K ⋅KD ⋅sinφ =3 41

Следовательно,

√ -- -24- 24= ρ⋅ 41 ⇔ ρ= √41-

Ответ:

б) $2√4-- 41$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90985

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 24$ и $√- BC = 4 2.$ Длины боковых рёбер пирамиды $SA = 7,$ $SB = 25$ и $SD = 9.$

а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды $SABCD.$

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC ).$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим треугольники $SAB$ и $SAD.$ В них имеем:

$pict$

Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники $SAB$ и $SAD$ прямоугольные. Следовательно, $SA ⊥ AB$ и $SA ⊥ AD,$ значит, $SA ⊥ (ABD ).$

$PIC$

б) Проведем высоту $AH$ в треугольнике $SAB.$

Заметим, что $BC ⊥SA,$ так как $SA ⊥ (ABD ),$ и $BC ⊥AB,$ так как $ABCD$ — прямоугольник. Тогда $BC ⊥ (SAB ).$

Значит, $BC ⊥ AH.$ Также $AH ⊥ SB$ по построению. Тогда $AH ⊥ (SBC ).$ Таким образом, $AH$ — расстояние от $A$ до $(SBC ).$

В прямоугольном треугольнике $SAB :$

AH = SA-⋅AB- = 7⋅24= 6,72 SB 25

Ответ: б) 6,72

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#90992

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $√- AB = 5$ и $BC = 2.$ Длины боковых рёбер пирамиды $√ - SA = 7,$ $√ - SB = 2 3$ и $√-- SD = 11.$

а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды $SABCD.$

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC ).$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим треугольники $SAB$ и $SAD.$ В них имеем:

$pict$

Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники $SAB$ и $SAD$ прямоугольные. Следовательно, $SA ⊥ AB$ и $SA ⊥ AD,$ значит, $SA ⊥ (ABD ).$

$PIC$

б) Проведем высоту $AH$ в треугольнике $SAB.$

Заметим, что $BC ⊥SA,$ так как $SA ⊥ (ABD ),$ и $BC ⊥AB,$ так как $ABCD$ — прямоугольник. Тогда $BC ⊥ (SAB ).$

Значит, $BC ⊥ AH.$ Также $AH ⊥ SB$ по построению. Тогда $AH ⊥ (SBC ).$ Таким образом, $AH$ — расстояние от $A$ до $(SBC ).$

В прямоугольном треугольнике $SAB :$

√- √- √--- AH = SA-⋅AB--= -7√⋅-5 = -105- SB 2 3 6

Ответ:

б) $√--- -105- 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#90993

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 12$ и $√- BC = 5 3.$ Длины боковых рёбер пирамиды $SA = 5,$ $SB = 13$ и $SD = 10.$

а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды $SABCD.$

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC ).$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим треугольники $SAB$ и $SAD.$ В них имеем:

$pict$

Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники $SAB$ и $SAD$ прямоугольные. Следовательно, $SA ⊥ AB$ и $SA ⊥ AD,$ значит, $SA ⊥ (ABD ).$

$PIC$

б) Проведем высоту $AH$ в треугольнике $SAB.$

Заметим, что $BC ⊥SA,$ так как $SA ⊥ (ABD ),$ и $BC ⊥AB,$ так как $ABCD$ — прямоугольник. Тогда $BC ⊥ (SAB ).$

Значит, $BC ⊥ AH.$ Также $AH ⊥ SB$ по построению. Тогда $AH ⊥ (SBC ).$ Таким образом, $AH$ — расстояние от $A$ до $(SBC ).$

В прямоугольном треугольнике $SAB :$

AH = SA-⋅AB-= 5⋅12 = 60 SB 13 13

Ответ:

б) $60 13$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#90994

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 8$ и $√-- BC = 15.$ Длины боковых рёбер пирамиды $SA = 15,$ $SB = 17$ и $√ -- SD = 4 15.$

а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды $SABCD.$

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC ).$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим треугольники $SAB$ и $SAD.$ В них

$pict$

Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники $SAB$ и $SAD$ прямоугольные. Следовательно, $SA ⊥ AB$ и $SA ⊥ AD,$ значит, $SA ⊥ (ABD ).$

$PIC$

б) Проведем высоту $AH$ в треугольнике $SAB.$

Заметим, что $BC ⊥SA,$ так как $SA ⊥ (ABD ),$ и $BC ⊥AB,$ так как $ABCD$ — прямоугольник. Тогда $BC ⊥ (SAB ).$

Значит, $BC ⊥ AH.$ Также $AH ⊥ SB$ по построению. Тогда $AH ⊥ (SBC ).$ Таким образом, $AH$ — расстояние от $A$ до $(SBC ).$

В прямоугольном треугольнике $SAB :$

AH = SA-⋅AB- = 15⋅8= 120 SB 17 17

Ответ:

б) $120- 17$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

14.01 Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет