14.03 Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма

1) Назовем плоскость плоскостью .
Найдем линию пересечения и плоскости . Продлим лучи и до пересечения в точке . Тогда мы имеем две точки и в плоскости , следовательно, – линия пересечения и .
Определим, где пересекает прямая пятиугольник (и пересекает ли вообще).
 

 
Рассмотрим плоскость . Так как , то равнобедренный. Так как (по двум углам), то тоже равнобедренный, следовательно, .
Рассмотрим теперь плоскость :
 

 
Пусть прямая пересекает прямую в точке (неизвестно, внутри отрезка или снаружи). Так как по свойству правильного пятиугольника , то по двум углам. Следовательно,

Так как из условия отношение диагонали правильного пятиугольника к его стороне равно , то . Следовательно, получаем: Следовательно, , значит, . Таким образом, плоскость пересекает грань по отрезку .
 

 

Таким образом, нам осталось найти точку пересечения плоскости с ребром .
Рассмотрим плоскость . Она пересекает плоскость по прямой , параллельной прямой , которая в свою очередь является линией пересечения и . Следовательно, пересечет по прямой, параллельной . Таким образом, в плоскости проведем прямую , где – точка пересечения этой прямой с . Получили сечение – пятиугольник.
 

 

2) Так как , то , следовательно, . Аналогично . Следовательно, перпендикуляр из на упадет в середину - точку . Перпендикуляр из на упадет в середину – точку (по свойству равнобедренной трапеции: отрезок, соединяющий середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярен основаниям). Следовательно, .
По свойству правильного пятиугольника . Следовательно, – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями и основания.
 

 
прямоугольный (), следовательно,

Нужно найти .
 

 
Из прямоугольного : Следовательно,