14.03 Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан правильный тетраэдр 
— такая точка на высоте 
что
Плоскость 
проходит через точки 
и 
параллельно
медиане 
треугольника 
и пересекает ребро 
в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
а)
Правильный тетраэдр — это правильная треугольная пирамида, у которой все
ребра равны. Пусть ребро пирамиды равно 
Так как пирамида правильная, то высота 
падает в точку пересечения
медиан 
Рассмотрим плоскость 
точка 
лежит в этой
плоскости. Так как плоскость 
параллельна 
то она пересекает плоскость
по прямой, параллельной 
Проведем 
Тогда по теореме Фалеса
Прямая 
пересечет 
в точке 
— сечение пирамиды
плоскостью 
Напишем теорему Менелая для 
и прямой 
Из этого равенства находим, что 
б) Докажем, что линия пересечения плоскостей 
и 
параллельна
прямой 
Пусть это не так: пусть 
— линия пересечения 
и 
и
Тога прямая 
следовательно, не может быть
параллельна 
Получили противоречие, следовательно, 
Заметим, что
прямая 
проходит через точку 
Построим линейный угол двугранного угла между 
и 
Так
как 
проведем 
следовательно, по теореме о трех
перпендикулярах 
Таким образом, 
— искомый угол.
Найдем 
Тогда
Значит,
Найдем 
следовательно, 
Так как
имеем 
Таким образом, 
— параллелограмм,
следовательно,
Треугольник 
— прямоугольный, следовательно,
Тогда
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
