14.03 Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана четырехугольная пирамида 
в основании которой лежит
прямоугольник 
а боковые ребра пирамиды равны диагонали основания.
Точки 
и 
отмечены на ребрах 
и 
соответственно так, что
а) Докажите, что плоскость 
параллельна ребру 
б) Найдите площадь сечения пирамиды 
плоскостью 
если
боковое ребро пирамиды равно 24, 
а угол между диагоналями
основания равен 
а) Пусть 
Рассмотрим грань 
По теореме Менелая для
и прямой 
получаем
Далее, 
как прямоугольные по общему острому 
Следовательно,
Тогда по теореме, обратной теореме Фалеса, 
Так как
по построению, то 
Что и требовалось
доказать.
б) Так как боковые ребра пирамиды равны, то основание высоты 
пирамиды — центр описанной около основания 
окружности, то есть точка
пересечения диагоналей прямоугольника 
Сечение пирамиды 
плоскостью 
— четырехугольник 
Будем искать его площадь по
формуле
Здесь 
— угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.
Спроецируем четырехугольник 
на плоскость 
Опустим
перпендикуляры 
и 
на эту плоскость. Тогда по теореме
Фалеса
Следовательно,
Так как 
то
Следовательно, 
— середина отрезка 
Тогда, так как 
правильный, то 
— медиана и высота этого треугольника. Следовательно,
то есть 
Так как 
то 
Заметим, что
Отсюда по обратной теореме Фалеса следует, что 
Следовательно,
а 
откуда 
Тогда имеем:
Следовательно,
Также имеем:
Следовательно,
Так как 
— линия пересечения плоскостей 
и
то по теореме о трех перпендикулярах 
Следовательно, 
Так как 
то
Следовательно,
Тогда окончательно имеем:
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
