14.03 Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана четырехугольная пирамида 
в основании которой лежит
прямоугольник 
а основание высоты пирамиды — центр этого
прямоугольника. Точка 
— середина ребра 
точка 
лежит на ребре
Через точки 
и 
проведена плоскость 
параллельная ребру 
и
пересекающая ребро 
в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость 
делит
пирамиду 
если 
а) Если 
— точка пересечения диагоналей прямоугольника 
то 
—
высота пирамиды 
(по условию). Так как 
то по обратной теореме Фалеса 
следовательно, 
Пусть 
Тогда 
(
как вертикальные, 
как накрест лежащие при прямых
). Следовательно, 
Следовательно,
Так как 
то 
пересечет плоскость 
в которой лежит 
по
прямой 
параллельной 
(
). По теореме Фалеса
Чтд.
б) Будем искать объем 
многогранника 
как разность объемов
треугольных пирамид 
и 
где 
— точка пересечения прямых
и 
Так как 
то 
Тогда, так как 
имеем
— середина 
Пусть 
и 
Тогда
Проведем перпендикуляры 
и 
на плоскость 
Докажем лемму: если 
— наклонная к плоскости 
, 
— точка на 
,
, 
, то 
. Действительно, 
,
так как 
и эти прямые задают плоскость 
. Тогда
как прямоугольные с общим углом 
.
Тогда, если 
то
Следовательно,
Следовательно,
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
