14.03 Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольной пирамиде 
двугранные углы при ребрах 
и 
равны. Известно также, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при ребрах 
и 
равны 
а) Рассмотрим пирамиду 
В ней по условию 
Так как 
и 
— равнобедренные, причем 
— общее
основание, то высоты к основаниями попадут в одну точку — в середину 
стороны 
Тогда 
Таким образом, 
—
линейный угол двугранного угла 
Аналогичным образом строится угол 
— линейный угол двугранного
угла 
где 
— середина 
Таким образом, 
Так как 
по трем сторонам, то 
Аналогично
Значит, 
и 
— равнобедренные и подобные по двум
пропорциональным сторонам и углу между ними.
Заметим, что плоскости 
и 
имеют две общие точки —
это точки 
и 
Следовательно, они пересекаются по прямой 
Отрезок 
— это высота в 
и 
к основаниям 
и 
соответственно. Следовательно, эти треугольники равны. Следовательно,
Что и требовалось доказать.
б)
Из пункта а) также следует, что 
Так как двугранные углы равны 
то 
и 
—
равносторонние.
Пусть 
Проведем высоту пирамиды 
Так как 
то по теореме о
трех перпендикулярах 
Таким образом, точка 
должна
лежать на 
причем на середине, так как 
— равносторонний.
Тогда
Найдем по теореме Пифагора 
из 
Таким образом,
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
