14.03 Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма

а) Заметим, что следовательно, Проведем через точку прямую Тогда перпендикулярна двум пересекающимся прямым и следовательно, перпендикулярна плоскости, построенной на этих прямых. Значит, и

Пусть Тогда следовательно, Следовательно, как прямоугольные по острому углу и равным катетам Следовательно, Следовательно, так как по условию то откуда следует, что то есть Что и требовалось доказать.

б) 1. Так как то можно принять Тогда — ребро куба.

Вспомним, что для того, чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми и нужно провести плоскость перпендикулярно прямой спроецировать прямую на эту плоскость и найти расстояние от точки пересечения прямой с этой плоскостью до проекции прямой (см. рис.)

Из пункта а) следует, что плоскость, перпендикулярная прямой уже найдена — это плоскость Сечение куба этой плоскостью — прямоугольник (прямоугольник, так как следовательно, а ).

Точка пересечения прямой с — точка

2. Осталось найти проекцию прямой на Для этого спроецируем точки и на нее.

Найдем проекцию на плоскость Проведем тогда Пусть значит, — проекция на Заметим сразу, что

Найдем проекцию на плоскость Проведем следовательно, а значит Тогда — проекция точки на Проведем через точку как показано на рисунке:

Тогда — проекция точки на

3. Опустим перпендикуляр из точки на Получим отрезок Это и есть искомое расстояние.

Заметим, что если то как прямоугольные по общему острому углу Следовательно,

Необходимо выразить отрезки и через

4. Найдем необходимые отношения.

Так как — середина то по теореме Фалеса

— высота, опущенная из вершины прямого угла следовательно,

Пусть Так как по свойству высоты из прямого угла то получаем квадратное относительно уравнение:

Тогда

Заметим, что следовательно,

По теореме Фалеса

Заметим, что

как прямоугольные по двум катетам. Следовательно,

Тогда

Значит,

Так как — прямоугольник, то следовательно,

Тогда по теореме Пифагора

5. Таким образом, мы нашли, что значит,

Так как ребро куба равно то