14.03 Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каждую вершину тетраэдра 
симметрично отразили относительно точки
пересечения медиан противолежащей грани. Пусть 
— точки,
симметричные точкам 
и 
соответственно.
а) Докажите, что отрезки 
и 
пересекаются в одной
точке.
б) Найдите отношение объемов тетраэдров 
и 
а) Пусть 
и 
— середины ребер 
и 
соответственно, 
— точки пересечения медиан граней 
и
соответственно.
Рассмотрим плоскость 
в которой лежат точки 
и
Проведем прямые 
и 
и отметим на них точки 
и
соответственно так, чтобы 
и 
были серединами отрезков
и 
Пусть 
Так как по свойству медиан
то по теореме Менелая для треугольника
и секущей 
имеем:
Так как каждый из отрезков 
и 
определен одним и тем же
образом, то получаем, что отрезки 
и 
тоже делят отрезок 
в
отношении 
то есть проходят через точку 
Что и требовалось
доказать.
б) По теореме Менелая, поступая, как в пункте а), получаем
Тогда
Заметим, что 
следовательно
Аналогично получаем, что
Значит, 
с коэффициентом подобия 
Пусть 
— перпендикуляры к плоскости 
Так как
то 
Так как 
то
Для точек 
и 
все аналогично. Тогда
Это значит, что точки 
и 
находятся на одинаковом расстоянии от
плоскости 
следовательно, 
и расстояние между ними
равно 
Пусть 
Тогда так как 
то получаем 
Следовательно, если 
— длина перпендикуляра, опущенного из 
на
то 
Тогда
б) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
