14.03 Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма

а) По условию Так как точка — центр описанной окружности, то она лежит на серединном перпендикуляре к Пусть — середина Тогда Значит, по теореме о трех перпендикулярах Следовательно,

Аналогично где — середина откуда Значит, то есть — правильный.

Тогда точка пересечения и и есть точка Следовательно, Значит, по определению пирамида — правильная.

б) Так как пирамида правильная, то Значит, плоскости и — плоскости, в которых лежат и соответственно, причем пересекаются эти плоскости по прямой Это значит, что — точка пересечения и также является точкой пересечения и с Cледовательно, — центр вписанного шара. Это значит, что расстояния от точки до всех граней пирамиды равны, то есть

Рассмотрим треугольники Они прямоугольные, — общая, как радиусы описанных окружностей равных треугольников. Следовательно, Значит, достаточно использовать условие для нахождения плоского угла при вершине Заметим, что

Пусть Тогда по теореме синусов для боковой грани радиус описанной окружности Так как как половина центрального, опирающегося на ту же дугу описанной около грани окружности, что и вписанный то Также

как прямоугольные по катету и гипотенузе. Отсюда получаем