14.18 Угол между скрещивающимися прямыми

Способ 1

Назовём призму и найдём угол между диагоналями и Проведём из точки отрезок равный и параллельный Тогда нужно найти угол Отметим, что — параллелограмм, так как противоположные стороны и равны и параллельны. Тогда то есть точка лежит на продолжении ребра Пусть сторона основания призмы равна , тогда боковые рёбра равны Вычислим из теоремы Пифагора для треугольника Для верно равенство:

вычислим по теореме Пифагора для треугольника

Найдём косинус угла по теореме косинусов для треугольника :

Тогда угол равен

Способ 2. Используем теорему косинусов трёхгранного угла

Найдем угол между и . Проведем проекцию прямой на плоскость , в которой лежит — получим прямую . Тогда .

прямоугольный, следовательно, .

По теореме косинусов из :

Следовательно,