Войти через ВК
Каталог курсов
Каталог задач
Отзывы
Акции
О нас
Контакты
Благотворительность
Обратная связь
Политика конфиденциальности
Сведения об образовательной организации
Договор оферты
Партнерам
Телефон
Telegram
Вконтакте
Каталог задач
Отзывы
Акции
Контакты
Тема 14. Задачи по стереометрии

14.18 Угол между скрещивающимися прямыми

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41973

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 с боковым ребром AA1 = 2 . Угол между скрещивающимися прямыми AC1 и A1B равен ∘ α < 60.

а) Докажите, что треугольник, вершины которого — середины ребер AB, AA1,A1C1 — тупоугольный.

б) Найдите площадь этого треугольника, если α =arccos 1. 3

Показать ответ и решение

а) Пусть P,K,N — середины ребер A1C1, AA1, AB соответственно. Тогда P K ∥AC1, KN ∥ A1B, следовательно, угол между скрещивающимися прямыми AC1 и A1B равен углу между прямыми PK и KN .

PIC

Введем AB =2a , проведем PM ⊥ AC , тогда M — середина AC, следовательно, MN — средняя линия △ABC, MN = a .

Заметим, что △AKN = △A1KP как прямоугольные по двум катетам, следовательно, √----- PK = KN = a2+ 1 по теореме Пифагора. По этой же теореме из △P MN имеем √ ----- PN = a2+ 4 . Запишем теорему косинусов для △P KN :

PN2 = PK2 + KN2 − 2⋅PK ⋅KN ⋅cos∠P KN ⇔ a2 +4 = 2a2 +2 − 2(a2+ 1)cos∠P KN ⇔ 2 1+ cos∠P KN a = 2⋅1−-2cos∠PKN--

Так как a2 ≥ 0 , то

1− 2cos∠P KN ≥ 0 ⇔ cos∠PKN ≤ 1 2

Следовательно, ∠P KN ⁄= α < 60∘ , так как cos60∘ = 12 . Значит, ∠P KN =180∘− α > 120∘ . Таким образом, △P KN тупоугольный. Чтд.

б) Из пункта а) следует, что

2 1+-cos(180∘−-α)- -1−-cosα 4 a = 2 ⋅1− 2cos(180∘− α ) = 2⋅1 +2cosα = 5

Также KP 2 = 95, ∘ ----- √- sin∠P KN =sin(180∘− α)= sinα = 1− 19 = 232 . Тогда

S△PKN = 1P K2 ⋅sin∠P KN = 0,6√2. 2
Ответ:

б) 0,6√2

Специальные программы

Все специальные программы
Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse

Мы в социальных сетях

©2025 «Школково». Все права защищены.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!