14.17 Нахождение объема или площади поверхности

Пусть – тетраэдр, точки — точки пересечения медиан в гранях соответственно.
 

 

1) Т.к. медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, то . Следовательно, по углу и двум прилежащим пропорциональным сторонам. Таким образом, ( как соответственные) и .

 

Аналогичным образом можно доказать, что , .

 

2) с коэффициентом , то есть . А вот с коэффициентом (т.к. – средняя линия), то есть .

 

Следовательно, .

 

Аналогично доказывается, что , .

 

3) Таким образом, все ребра тетраэдра в три раза меньше соответствующих ребер тетраэдра , а это значит, что каждая грань тетраэдра подобна с коэффициентом соответствующей грани тетраэдра .

 

4) Т.к. площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то площадь каждой грани тетраэдра равна от площади соответствующей грани тетраэдра . Следовательно,