14.17 Нахождение объема или площади поверхности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Мало кто знает, но в своё время Дед Мороз тоже закончил мехмат МГУ — Мурманского Государственного Университета! В ту эпоху ЕГЭ ещё не было и для поступления Дед Мороз сдавал внутренние вступительные экзамены.
Дан куб 
в который вписан шар с центром в точке 
На
диагонали 
отмечена точка M так, что 
Точка 
—
середина диагонали 
а) Докажите, что центр шара принадлежит плоскости 
б) Из точек 
и 
опустили перпендикуляры 
и 
на плоскость
Найдите объём пирамиды 
если ребро куба равно
8.
Попробуйте решить оба пункта, и кто знает, возможно, и вы однажды станете студентом МГУ!!!
а)
1. Шар вписан в куб, центром этих фигур является одна и та же точка, поэтому работать будем именно с центром куба. Центр куба — точка пересечения его диагоналей.
2. Пусть 
— середина диагонали 
Теперь следует доказать, что точка
принадлежит плоскости 
3. Диагональ 
лежит в плоскости 
В этой же плоскости лежат и
три точки плоскости 
то есть точка 
лежит в той же плоскости, что и
все точки 
Ч.Т.Д.
б)
1. Проведём перпендикуляр 
к прямой 
2. 
следовательно, 
перпендикулярно любой прямой,
лежащей в плоскости 
то есть 
3. 
и 
означают, что 
То есть
— высота пирамиды. Найдем её длину через метод площадей для
4. Проведём перпендикуляр 
к 
Его длина равна длине стороны
так как 
— прямоугольник.
5. Из подобия 
, получаем
откуда 
поскольку 
— куб, у него все
рёбра равны.
6. Аналогично находим, что 
откуда 
и 
— середины
сторон 
и 
соответственно.
7. По теореме Пифагора для 
8. По методу площадей для 
вычислим высоту 
9. Основание пирамиды — четырёхугольник 
Прямые 
и
перпендикулярны плоскости 
значит они параллельны и
на самом деле — трапеция.
10. Из тезисов 
и 
выводим, что 
То есть 
— высота трапеции.
11. Найдём площадь основания пирамиды:
12. Найдём объём пирамиды:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
