14.17 Нахождение объема или площади поверхности

а) Пусть – высота пирамиды. Проведем перпендикуляры к прямым соответственно. По теореме о трех перпендикулярах наклонные также будут перпендикулярны этим прямым. Следовательно, по определению — линейные углы двугранных углов между боковыми гранями и основанием. Т.к. эти углы равны, то по катету и острому углу ( – общий катет).
 

 

Таким образом, . Таким образом, тока равноудалена от прямых . Значит, это либо центр вписанной в окружности, либо центр вневписанной окружности (касающейся стороны и продолжений двух других сторон). Т.к. пирамида не является правильной, то первый вариант не подходит, чтд.

 

б) Обозначим . Пусть для определенности – центр окружности, касающейся стороны и продолжений сторон и . Тогда лежит на биссектрисе угла . Следовательно, – биссектриса, а т.к. – правильный, то . Следовательно, точка лежит на биссектрисе .

 

Значит, . Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, то . Следовательно, . К тому же (как половина ). Значит,

Следовательно, . Из прямоугольного

Таким образом, объем пирамиды равен