14.17 Нахождение объема или площади поверхности

Способ 1.

1) Рассмотрим правильную пирамиду , – высота (которая падает в точку пересечения диагоналей основания), .
Напомним, что у правильной пирамиды все боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники.
 

Введем вспомогательный угол между боковым ребром и основанием: .

Тогда , следовательно, .

Тогда, т.к. площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними,

2) Теперь необходимо выразить через данные в условии величины.

Проведем – медиану и высоту в равнобедренном . Тогда

как диагональ квадрата, следовательно, . В :

Разделим равенство на равенство и получим:

Тогда .

3) Таким образом,

4) Подставляя значения из условия, находим, что

Способ 2.

Пусть длина квадрата основания равна . Тогда а Выразим квадраты длин и по теореме Пифагора для треугольника Запишем теорему косинусов для , выразив квадрат стороны

Подставим полученное выражение для в формулу .

Выразим площадь треугольника

Тогда