Тема 15. Решение неравенств

15.03 Рациональные неравенства и метод интервалов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#487

Решите неравенство

-----1---- 2 √ -- √ -- √-- 2 (x − √2-)2 + 3x − 2 2x + 2 + 2(− 2x( 2 + 1) + ( 2 + 1) ) ≤ 2.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

√ -- x ⁄= 2.

Преобразуем исходное неравенство:

√ -- √ -- √ -- -----1√---- + 3x2 − 2 2x + 2 + 2(− 2x( 2 + 1) + ( 2 + 1 )2) ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 1 √ -- √ -- √ -- ⇔ -----√---- + (x2 − 2 2x + 2) + 2(x2 − 2x( 2 + 1) + ( 2 + 1)2) ≤ 2 ⇔ (x − 2)2 -----1---- √ --2 √-- 2 ⇔ √ --2 + (x − 2) + 2(x − ( 2 + 1)) ≤ 2. (x − 2)

Покажем, что при любом $√ -- x ⁄= 2$ выполнено

1 √ -- -----√---- + (x − 2)2 ≥ 2, (x − 2)2

причём равенство достигается только при $√ -- x = ±1 + 2$ :

при $√ -- x ⁄= 2$ :

----1√---- + (x − √2-)2 ≥ 2 ⇔ 1 + (x − √2-)4 − 2(x − √2-)2 ≥ 0 ⇔ (x − 2)2 √ --22 √ --2 √ --2 2 ⇔ ((x − 2) ) − 2 ⋅ (x − 2) + 1 ≥ 0 ⇔ ((x − 2) − 1) ≥ 0,

что верно при всех допустимых $x$ . Равенство имеет место только при $√ -- (x − 2)2 = 1$ (это легко проверить аналогичным способом).

Таким образом, при всех $√ -- x ⁄= 2$ выполнено

1 √ -- -----√---- + (x − 2)2 ≥ 2, (x − 2)2

причём равенство достигается только при $√ --2 (x − 2) = 1$ , то есть при $√ -- x = ±1 + 2$ .

Так как при любом $x$ выполнено $√ -- 2 2(x − ( 2 + 1 )) ≥ 0$ , то с учётом доказанного утверждения неравенство

-----1---- √ --2 √ -- 2 √ --2 + (x − 2) + 2 (x − ( 2 + 1)) ≤ 2 (x − 2)

может выполняться только при $√ -- x = ±1 + 2$ .
При $x = 1$ имеем:

1-+ 1 + 0 ≤ 2 1

– верно.
При $x = − 1$ имеем:

1 --+ 1 + 8 ≤ 2 1

– неверно.

В итоге, ответ:

√ -- x = 1 + 2.

Ответ:

$√ -- 1 + 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse