17.03 Задачи формата ЕГЭ

 

а) У параллелограмма противоположные стороны равны: . Так как в четырехугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны, следовательно,

Следовательно, по определению – ромб.

 

б) Найдем площадь четырехугольника .
 

 
Докажем, что – прямоугольник.
Так как , то точки лежат на одной прямой, следовательно, – высота ромба. Аналогично – высота, то есть (1). Также (2). Так как диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам – (2), то это параллелограмм. Так как диагонали параллелограмма равны – (1), то это – прямоугольник.
Пусть .
Заметим, что . Аналогично . Следовательно, , .
Тогда , как равнобедренные по двум углам (например, , по доказанному ранее).
Найдем по теореме косинусов и :

Из двух подобий, указанный ранее, следует Разделим первое равенство на второе и получим Тогда первое равенство можно переписать в виде: откуда находим, что . Подставим в полученное равенство правые части равенств из , учитывая, что, так как , то : Следовательно, Следовательно, площадь