17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Четырехугольник вписанный . , т.к. — параллелограмм. — вписанный.

б) Для начала докажем лемму.

___________________________________________________________

Лемма 1. Пусть есть окружность и точка вне ее. Через точку проведена касательная к окружности, а также прямая, пересекающая окружность в двух точках и . Тогда .

Доказательство. , т.к. угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Тогда по двум углам (т.к. общий). Запишем подобие

___________________________________________________________

Вернемся к решению исходной задачи. Дважды воспользовавшись Леммой 1 для точек и , получим соотношения

Далее, из равенств углов, доказанных в первом пункте, очевидно, что трапеции и — равнобокие, то есть . Пусть . Тогда из вписанности четырехугольника

Выразим двумя способами по теореме косинусов для треугольников и и найдем

Найдем по теореме косинусов для треугольника