17.03 Задачи формата ЕГЭ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагонали равнобедренной трапеции 
с основаниями 
и 
перпендикулярны. Окружность с диаметром 
пересекает боковую сторону 
в точке 
а окружность с диаметром 
пересекает основание 
в точке 
Отрезки
и 
пересекаются в точке 
a) Докажите, что в четырёхугольник 
можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если 
(МИОО 2017)
а) Пусть 
— точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что точка 
лежит на 
Углы 
так как это вписанные углы, опирающиеся на диаметры соответствующих окружностей.
Тогда точка 
— ортоцентр треугольника 
Угол 
между диагоналями прямой по условию, значит, 
— третья
высота в треугольнике 
и тоже проходит через точку 
Трапеция 
равнобокая, следовательно, треугольники 
и 
равны, откуда 
и 
Угол 
по условию, тогда треугольник 
— прямоугольный равнобедренный, а 
Углы
как накрест лежащие.
Тогда по сумме углов треугольника 
Прямая 
— серединный перпендикуляр к отрезку 
точка 
лежит на прямой 
следовательно, 
Получили, что в выпуклом четырехугольнике 
суммы противоположных сторон равны:
Значит в четырехугольник 
можно вписать окружность.
б) Рассмотрим равнобедренные прямоугольные треугольники 
и 
Тогда по теореме Пифагора для треугольника 
Площадь четырехугольника 
из соображений симметрии равна удвоенной площади треугольника 
Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности 
значит
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
