17.03 Задачи формата ЕГЭ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Первая окружность с центром 
, вписанная в равнобедренный треугольник 
, касается боковой стороны 
в
точке 
, а основания 
— в точке 
. Вторая окружность с центром 
касается основания 
и
продолжений боковых сторон.
a) Докажите, что треугольник 
прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 
и 
.
(МИОО 2016)
Сразу отметим, что в силу симметрии точки касания малой и большой окружностей с основанием 
треугольника
совпадают, то есть 
— точка касания обеих окружностей со стороной 
.
а) Известно, что центр вневписанной окружности 
является точкой пересечения биссектрисы из вершины 
треугольника и двух внешних биссектрис, тогда 
. Также 
, так как 
— центр
вписанной окружности. Получили
б) Сразу заметим, что 
, так как соответствующие радиусы перпендикулярны
касательным. Кроме того, 
как радиусы. Точки 
, 
и 
лежат на одной прямой, поэтому
. По теореме Пифагора в 
: 
.
по двум углам с коэффициентом 
. Кроме того,
как отрезки касательных из одной точки.
по двум углам с коэффициентом 
радиус большей окружности
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
