17.03 Задачи формата ЕГЭ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном треугольнике 
с прямым углом 
известны стороны 
Oкружность радиуса 2,5 с
центром 
на стороне 
проходит через вершину 
Вторая окружность касается катета 
гипотенузы треугольника, а
также внешним образом касается первой окружности.
a) Докажите, что радиус второй окружности меньше чем 0,25 длины катета 
б) Найдите радиус второй окружности.
(МИОО 2015)
а) Пусть 
— центр второй окружности, 
— точка касания окружностей, тогда
лежат на одной прямой. Пусть 
и 
— точки касания второй
окружности и сторон 
и 
соответственно.
Обозначим радиус второй окружности через 
отрезки
касательных к ней из точки 
за 
угол 
за 
По теореме Пифагора для треугольника 
имеем:
Вторая окружность касается сторон угла 
следовательно, её центр 
лежит на биссектрисе этого угла. Таким образом,
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
В нём имеем:
По формуле тангенса половинного угла
Из прямоугольного треугольника 
с углом 
Таким образом,
Следовательно,
Тогда, так как 
то
Что и требовалось доказать.
б) По предыдущему пункту 
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
В нём
Тогда по теореме Пифагора
Рассмотрим треугольник 
В нём
Запишем теорему косинусов для треугольника 
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
В нём
Тогда по теореме Пифагора
Рассмотрим треугольник 
В нём 
Запишем теорему косинусов для треугольника 
Приравняем левые части двух полученных уравнений:
Подставим полученное значение во второе уравнение:
Найдем дискриминант полученного уравнения:
Тогда
В предыдущем пункте мы доказали, что
Значит, 
нам не подходит. Таким образом, 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
