17.03 Задачи формата ЕГЭ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Xopды 
и 
окружности делят друг друга на три равные части.
a) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника 
если точки 
последовательно расположены на окружности, а
радиус окружности равен 
а) Так как хорды оказываются разделены точками пересечения на три равные части, то каждая точка пересечения делит хорду в
отношении 
Возьмем произвольные две хорды из наших трех и назовем их 
и 
Пусть их точка пересечения 
тогда не умаляя общности имеем:
Тогда 
по углу 
и двум сторонам, следовательно, 
как соответствующие у подобных
треугольников.
Вспомним, что точки 
лежат на одной окружности, следовательно, 
как вписанные,
опирающиеся на одну дугу.
Получили, что в треугольнике 
углы при вершинах 
и 
равны, отсюда 
и 
Мы доказали
равенство двух произвольных хорд, а значит, все хорды равны между собой.
б) Из пункта а) ясно, что треугольник, образованный пересечениями хорд — правильный. Обозначим длину его стороны через
тогда из подобия, доказанного в первом пункте, ясно, что
Рассмотрим трапецию 
Проведем диагональ 
и найдем значения тригонометрических функций от углов
и 
Для этого воспользуемся несколько раз теоремой косинусов:
Заметим, что 
как центральный, опирающийся на ту же дугу, аналогично 
Отрезки
как радиусы. Очевидно, что площадь четырехугольника 
составляет треть от площади всего
шестиугольника. Найдем ее.
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
