17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон четырехугольника должны быть равны. Найдем все стороны трапеции .
 

 

Так как , то четырехугольник является вписанным в окружность. Следовательно, как вписанные углы, опирающиеся на дугу . Обозначим , . Тогда по свойству угол между секущими равен полуразности дуг, заключенных между ними: .
Но в то же время из прямоугольного ( – точка пересечения диагоналей трапеции).

 

Получаем:

Пусть . Тогда из прямоугольного , так как , следует, что . По теореме Пифагора .
Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная, значит, ее диагонали равны, а также и . Тогда , , следовательно, , .
Проверка:

Полученное равенство неверно, следовательно, в трапецию вписать окружность нельзя.

 

б) Из того, что , следует, что и равнобедренные, откуда и .

 

Как известно, площадь выпуклого четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними. Следовательно, если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь равна полупроизведению диагоналей:

Следовательно, получаем:

Так как площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то

Следовательно,