Войти через ВК
Каталог курсов
Каталог задач
Отзывы
Акции
О нас
Контакты
Благотворительность
Обратная связь
Политика конфиденциальности
Сведения об образовательной организации
Договор оферты
Партнерам
Телефон
Telegram
Вконтакте
Каталог задач
Отзывы
Акции
Контакты
Тема 17. Задачи по планиметрии

17.03 Задачи формата ЕГЭ

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#16713

Высоты AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H, точка O — центр описанной окружности ABC, точка M — середина стороны AC. Известно, что AB = 4, BC = 7, 1 cos∠B = 7.

а) Докажите, что длина отрезка OM равна радиусу описанной окружности треугольника A1BC1.

б) Найдите радиус описанной окружности треугольника AOC.

Показать ответ и решение

Найдем AC по теореме косинусов для треугольника ABC :

∘ ------------------------- ∘ --------------1- √-- AC = AB2 + BC2 − 2AB ⋅BC cos∠B = 16+ 49− 2⋅4⋅7⋅7 = 57

PIC

Так как √57 > 7> 4, то AC — наибольшая сторона в треугольнике ABC, следовательно, напротив нее лежит наибольший угол. Таким образом, угол B — наибольший в треугольнике, при этом его косинус положителен, следовательно, треугольник ABC остроугольный.

а) Из прямоугольного треугольника ABA1 :

4 A1B =AB cos∠B = 7

Из прямоугольного треугольника CBC1 :

BC1 = CB cos∠B =1

По теореме косинусов для треугольника BA1C1 :

∘ --------------------------- A1C1 = A1B2 + BC21 − 2A1B ⋅BC1 cos∠B =

∘---------------- √-- = 16+ 1− 2⋅ 4 ⋅1⋅ 1 =-57 49 7 7 7

Угол B — острый, следовательно, его синус равен

∘ -----2---- √48- 4√3- sin ∠B = 1− cos ∠B = 7 = 7

PIC

Тогда по теореме синусов для треугольника BA1C1 :

√57- √ -- A1C1-= 2RBA1C1 ⇒ RBA1C1 =-A1C1--= --74√3-= --19 sin∠B 2sin∠B 2 ⋅-7- 8

Найдем теперь длину OM. Точка O — центр описанной окружности, M — середина стороны, следовательно, MO — серединный перпендикуляр к стороне AC. Найдем длину отрезка MC :

1 √57 MC = 2AC = -2--

Отрезок OC равен радиусу RABC описанной окружности треугольника ABC, то есть по теореме синусов для треугольника ABC :

√ -- √-- OC = RABC = --AC---= ---57√--= 7-19- 2sin ∠B 2⋅ 473 8

Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OCM :

∘ ---------- ∘ ---------- √ -- OM = OC2 − MC2 = 49⋅19 − 57= --19= RBA1C1 64 4 8

б) Из пункта а) мы знаем, что

√ -- OA = OC = 7-19- 8

По теореме косинусов для треугольника AOC :

49⋅19 cos∠AOC = OA2-+-OC2-− AC2 = 2⋅-64-−-57= 2OA ⋅OC 2⋅ 49⋅6149

57⋅64 32 ⋅3 47 =1 − 2⋅49⋅19 = 1−--49- = − 49-

PIC

Так как ∠AOC < 180∘, то

√-------- √ --- √ - sin∠AOC = ∘1-− cos2∠AOC = -492−-472= --192-= 8--3 49 49 49

Тогда по теореме синусов для треугольника AOC :

AC √57- 49√19- RAOC = 2-sin∠AOC- = 16√3 = -16-- 49
Ответ:

б) 49√19- 16

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Специальные программы

Все специальные программы
Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse

Мы в социальных сетях

©2025 «Школково». Все права защищены.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!