17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Заметим, что биссектрисы внешних углов при вершинах и и биссектриса внутреннего угла при вершине треугольника пересекаются в одной точке. Тогда — биссектриса внешнего угла при вершине Аналогично — биссектриса внешнего угла при вершине Тогда и — биссектрисы вертикальных углов и точки и лежат на одной прямой.

Так как и — биссектрисы смежных углов при вершине то они перпендикулярны, то есть

Аналогично и — биссектрисы смежных углов при вершине следовательно,

Рассмотрим четырёхугольник В нем и они опираются на сторону Таким образом, — вписанный.

Четырехугольник — вписанный, значит, и опирающиеся на сторону будут равны.

б) Треугольник — равнобедренный, значит, биссектриса будет также высотой и медианой.

Пусть биссектрисы пересекаются в точке Обозначим тогда Из вписанности

Тогда так как накрест лежащие углы и равны. Так как то Тогда рассмотрим четырехугольник В нем имеем:

Значит, четырехугольник — вписанный.

Заметим, что — биссектриса треугольника Тогда имеем:

Так как четырехугольник — вписанный, то имеем

Следовательно,

Заметим, что

Из прямоугольного треугольника

Запишем теорему синусов для треугольника и найдем искомый отрезок: