17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Пусть , .
Достаточно доказать, что треугольник, составленный из отрезков , и – прямоугольный с гипотенузой , для этого достаточно доказать, что

следовательно, достаточно доказать, что

Окончательно, таким образом, достаточно доказать, что

Докажем это.

Так как , то в четырёхугольнике суммы противоположных углов равны , следовательно, около него можно описать окружность.

Пусть множество точек пересечения описанной около окружности с есть (т. е., возможно, и совпадают, но для дальнейшего решения это не важно).
 

 

По теореме о секущих

тогда

С другой стороны, так как , то , откуда

Получили, что

откуда в итоге следует, что площадь треугольника, составленного из отрезков , и , равна

б) Покажем, что – квадрат. Опустим из точки на перпендикуляр . Из равнобедренности и подобия треугольников и следует, что . Обозначим , тогда

но , тогда следовательно, и точки и совпадают.

Итак, в четырёхугольнике три угла равны по , следовательно, все его углы равны , тогда – прямоугольник, но у него соседние стороны равны, тогда – квадрат. .