17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Проведем радиусы , и радиус в точку касания окружности со стороной , а также соединим и .

 

Тогда перпендикулярно и значит точки , и лежат на одной прямой, откуда как вертикальные, следовательно треугольники и равны по катету и острому углу ( как радиусы).

Тогда . – биссектриса в треугольнике (она проходит через точку, равноудаленную от сторон угла ), но из равенства следует, что – медиана.

Треугольник, в котором биссектриса является медианой – равнобедренный и перпендикулярна .

как отрезки касательной, проведенной из одной точки, тогда треугольники и – равны (по трем сторонам), тогда и – биссектриса угла .

Треугольник равнобедренный, тогда перпендикулярна . В итоге, перпендикулярна и , тогда .

 

б) Пусть – перпендикуляр из точки на . Средняя линия трапеции является средней линией трапеции .

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то

(так как отрезки касательных, проведенных из одной точки равны, то , а ). откуда , следовательно и есть средняя линия трапеции (перпендикуляр из точки на прямую имеет наименьшую длину, другой отрезок, соединяющий и точку на был бы длиннее).

перпендикулярен , но , тогда – прямоугольная трапеция, . В итоге – прямоугольник, у которого , тогда он квадрат и .

Треугольник – прямоугольный, тогда .