17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) , где – полупериметр, а – радиус вписанной в окружности.

 

Пусть – длина той высоты, которая равна , – длина стороны, высота к которой имеет длину , – периметр треугольника .

В итоге имеем:

откуда , тогда , где и длины других сторон треугольника.

 

б) Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию: если обозначить , то , .

Пусть . Тогда наибольшая сторона треугольника и существование треугольника с длинами сторон , и равносильно выполнению неравенства

Так как длины всех сторон треугольника – целые числа, то – целое, следовательно, .

Так как – меньшая из сторон, то , тогда , откуда , , тогда

При этом случай , , подходит, следовательно, при максимально возможный периметр равен 21.

 

При треугольник равносторонний и .

 

Случай рассматривается аналогично (меняется только то, что , следовательно, достаточно в рассуждении из случая всюду поменять местами и ).

Таким образом, наибольший возможный периметр треугольника равен 21.