17.03 Задачи формата ЕГЭ
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– выпуклый четырёхугольник, точки 
, 
, 
и 
середины его сторон, причём 
тоже выпуклый четырёхугольник. 
другой выпуклый четырёхугольник с серединами сторон
в точках 
, 
, 
и 
.
а) Докажите, что диагонали 
точкой пересечения делятся пополам.
б) Найдите максимально возможное значение величины 
.
а) Проведём диагонали 
и 
.
Рассмотрим треугольники 
и 
: 
– средняя линия в треугольнике 
, тогда
треугольники 
и 
подобны, причём 
.
Аналогично 
, следовательно, 
.
Аналогично доказывается равенство 
. В итоге в выпуклом четырёхугольнике 
противоположные стороны равны, тогда 
– параллелограмм, следовательно, его диагонали
точкой пересечения делятся пополам.
б) Докажем, что по взаимному расположению середин сторон выпуклого четырёхугольника его площадь восстанавливается однозначно.
Из подобия 
и 
получаем:
Аналогично 
, 
, 
. Тогда
, откуда окончательно
Таким образом, по взаимному расположению точек 
, 
, 
, 
однозначно восстанавливается
площадь параллелограмма 
, а значит и площадь любого выпуклого четырёхугольника с
серединами сторон в точках 
, 
, 
и 
.
В итоге
б) 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
