17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Рассмотрим В нем так как — высота треугольника по условию. Также и Тогда мы можем найти катет

Теперь напишем теорему синусов для треугольника учитывая, что радиус описанной окружности треугольника равен 6 по условию:

Тогда мы можем найти сторону , если вычислим синус угла Заметим, что — угол треугольника, поэтому он меньше а его синус положителен. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем

Теперь найдем длину стороны

Рассмотрим треугольник Он прямоугольный, поэтому зная и длину мы можем найти длину Найдем

Воспользовавшись основным тригонометрическим тожедеством, мы можем найти

Определим знак косинуса угла Заметим, что так как На области определения косинус убывает, поэтому поэтому

б) Рассмотрим треугольник В нем так как — высота треугольника Тогда имеем:

Рассмотрим четырехугольник Сумма его противоположных углов равна

Значит, четырехугольник является вписанным. Тогда углы, которые опираются на его сторону равны, то есть

Рассмотрим четырехугольник В нем углы и равны и опираются на одну сторону следовательно, четырехугольник является вписанным. Тогда углы, которые опираются на его сторону равны, то есть следовательно,

Заметим, что является прямоугольным с гипотенузой значит,