17.03 Задачи формата ЕГЭ
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана трапеция 
с основаниями 
и 
Ее диагонали 
и 
пересекаются в точке 
и
перпендикулярны боковым сторонам 
и 
соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник 
а) Рассмотрим треугольники 
и 
Прямые 
и 
параллельны, поэтому 
как накрест
лежащие углы, образованные параллельными прямыми 
и 
и секущей 
Аналогично 
как накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми 
и 
и секущей
Тогда треугольники 
и 
подобны по двум углам, то есть
По условию 
и 
то есть 
и 
В трапеции 
эти два равных угла
опираются на одну сторону 
следовательно, 
— вписанный четырехугольник.
Заметим, что если трапеция является вписанной, то она равнобедренная. В равнобедренной трапеции боковые стороны и углы
при основаниях равны, то есть 
и 
Тогда треугольники 
и 
равны по первому признаку равенства треугольников (
и
— общая). В равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому 
и 
Значит, подобные треугольники 
и 
являются равнобедренными, то есть 
и 
Теперь рассмотрим треугольник 
Он прямоугольный, так как по условию 
Тогда
б) Нам нужно найти радиус окружности, вписанной в треугольник 
Вспомним, что площадь треугольника 
равна
произведению радиуса вписанной окружности 
и полупериметра 
то есть
Значит, нам нужно найти площадь и периметр треугольника 
В предыдущем пункте мы доказали, что 
и 
Пусть 
где 
Тогда 
Треугольник 
прямоугольный, значит, по теореме
Пифагора
С другой стороны, треугольник 
тоже прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора в нем
Приравняем полученные значения 
и найдем 
Тогда найдем площадь 
Так как он прямоугольный, площадь равна полупроизведению длин катетов 
и 
то есть
Найдем периметр 
Теперь мы можем вычислить радиус 
вписанной окружности треугольника 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
