17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Если около четырёхугольника можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника .

Если около четырёхугольника можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника .

Если около четырёхугольника можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника .

Так как около треугольника можно описать ровно одну окружность, то описанные около четырёхугольников , и окружности должны совпасть, следовательно, тогда шестиугольник также будет вписанным.

Таким образом, достаточно показать, что около нельзя описать окружность.
 

 

Пусть шестиугольник – вписанный, тогда

но , следовательно, около нельзя описать окружность, откуда следует, что около хотя бы одного из четырёхугольников , и нельзя описать окружность.

 

б)

 

Пользуясь тем, что отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны, обозначим длины отрезков касательных, проведённых из точки , через , длины отрезков касательных, проведённых из точки , через и т.д.

откуда .