17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Пусть , , , — полупериметр треугольника, а вневписанная окружность касается продолжений сторон и в точках и соответственно. Тогда, так как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, то , и . Поскольку , и , то можем записать следующее равенство:

Значит,

Тогда можем найти длину отрезка :

Докажем лемму.

Длина отрезка касательной из вершины треугольника к его вписанной окружности равна разности полупериметра и противоположной стороны. В частности, .

Рассмотрим произвольный треугольник . Пусть его вписанная окружность касается сторон , и в точках , и соответственно. Тогда найдем длину отрезка касательной к вписанной окружности. Мы знаем, что отрезки проведенных из одной точки касательных к окружности равны. Поэтому , и .

Тогда можем составить систему:

Вернемся к задаче. Применим доказанную лемму к треугольнику и его вписанной окружности. Получим, что . Тогда

б) Пусть — центр вписанной окружности треугольника , — центр вневписанной окружности, касающейся стороны . Радиусы и этих окружностей параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой .

Пусть — основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .
Тогда — прямоугольник, поэтому , и .
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим