17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Так как обе окружности вписаны в угол , то их центры лежат на биссектрисе угла . Рассмотрим чертеж:
Заметим, что , следовательно, центр второй окружности находится дальше от вершины , чем центр окружности, вписанной в .
Так как окружности касаются, то их центры и точка касания лежат на одной прямой. –радиусы, следовательно, – равнобедренный. Аналогично – равнобедренный. Пусть .
Так как (так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной), то . Следовательно, как односторонние (:

Отсюда .

 

б) Проведем . Следовательно, . . Следовательно,

Из подобия : Следовательно, так как , то .

 

Из формулы следует, что , откуда .
Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, то . Следовательно,

По формуле Герона: Так как , то получаем уравнение Если , то ; если , то .
Так как – большая сторона, то , откуда . Следовательно, подходят .
Следовательно, .
По теореме косинусов Следовательно, . Тогда