17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Пусть – точки касания со стороной окружностей с центрами соответственно.
Тогда .

 

Если окружность вписана в угол, то она лежит на биссектрисе этого угла, следовательно, лежат на биссектрисе угла , – на биссектрисе угла .
Будем называть окружность с центром в – первой, с центром в – второй и с центром в – третьей.

 

Пусть – общая касательная к первой и третьей окружностям. – общая касательная к первой и второй окружностям, как показано на рисунке:
Докажем, что .
Так как – касательная, – точка касания, то как угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания. Аналогично .

 

Заметим также, что и (также как отрезки касательных).

 

Рассмотрим “правую” часть рисунка.
Заметим, что (по двум углам). Обозначим . Тогда из подобия этих трех треугольников

Из равенства можно выразить через : . Тогда , следовательно, Тогда .
Докажем, что это значение действительно равно .
Найдем тангенс , полученного в нашем решении, и тангенс , данного в условии: Чтд.

 

б) Для того, чтобы найти площадь , можно найти площадь и вычесть из нее площадь . Высоты этих треугольников к основанию мы знаем, следовательно, нужно найти .
Найдем .
Рассмотрим уже выведенное равенство из пункта а):

Следовательно, .
Теперь нужно найти .
Для этого воспользуемся тем же способом, что и в пункте а). Пусть , . Так как , то Отсюда . Так же, как в пункте а), найдем, что . Следовательно, . Тогда