17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Так как трапеция вписана в окружность, то . Но по свойству трапеции , откуда . Следовательно, трапеция равнобедренная.
 

 
Также как радиусы описанной окружности, откуда следует, что точка равноудалена от концов отрезка и концов отрезка , то есть лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам и (на самом деле серединные перпендикуляры к основаниям данной трапеции совпадают, так как к двум параллельным прямым из точки можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную этим прямым).

 

Так как в трапецию вписана окружность, то ее центр лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. Следовательно, , откуда равнобедренный, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре к .

 

Чтд.

 

б)

 

Как говорилось в пункте а), если около трапеции описана окружность, то трапеция является равнобедренной. Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. Так как боковые стороны данной трапеции равны, то .
Обозначим .
Рассмотрим . Так как около него описана окружность радиуса , то можно записать теорему синусов:

Если , то . Следовательно, Проведем . По свойству трапеции, в которую вписана окружность, высота трапеции равна . Следовательно, . Тогда из прямоугольного : Отсюда Заметим, что , следовательно, . Тогда из (*) Тогда из (1) и (2) равенств получаем: