17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Если около четырёхугольника можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника

Если около четырёхугольника можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника

Так как около треугольника можно описать ровно одну окружность, то описанные около четырёхугольников и окружности должны совпасть, следовательно, тогда пятиугольник также будет вписанным.

Таким образом, достаточно показать, что около нельзя описать окружность.

Пусть пятиугольник — вписанный, тогда

где отлична от Таким образом,

Аналогично для любых двух несмежных углов вписанного пятиугольника: их сумма больше 180 градусов.

По условию тогда но , тогда

Если бы около можно было описать окружность, то было бы верно и , тогда было бы

что не верно для , следовательно, около нельзя описать окружность, откуда следует, что около хотя бы одного из четырёхугольников и нельзя описать окружность.

б)

Пользуясь тем, что отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны, а окружность касается в середине, обозначим длины отрезков касательных, проведённых из точки , через , длины отрезков касательных, проведённых из точки , через и т.д.

тогда .

откуда , следовательно, .