17.03 Задачи формата ЕГЭ

Первый способ. а) Пусть — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому — диаметр меньшей окружности.

Пусть хорды и пересекают меньшую окружность в точках и соответственно. Точка лежит на окружности с диаметром , значит, а так как перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам, то — середина Аналогично, — середина поэтому — средняя линия треугольника Следовательно,

б) Опустим перпендикуляр на хорду Тогда — середина Из прямоугольного треугольника находим, что

Пусть — центр меньшей окружности. Тогда Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности на Тогда

а так как то из прямоугольного треугольника находим, что

Отрезок — средняя линия треугольника поэтому — середина Следовательно,

Второй способ. а) Пусть — центр большей окружности. Тогда — диаметр меньшей, значит, Следовательно, — середина хорды Аналогично — середина хорды Таким образом, — средняя линия треугольника и значит,

б) Отрезок — средняя линия треугольника поэтому

Обозначим По теореме о касательной и секущей

а так как то или После возведения в квадрат, получаем, что или

По теореме синусов

Тогда

Применив к треугольнику теоремy косинусов, получим, что

откуда Из равенства находим, что

Из теоремы об угле между касательной и хордой, а также из параллельности прямых и следует, что

т. е. — биссектриса треугольника а значит, — биссектриса треугольника

По свойству биссектрисы треугольника значит,

Треугольники и подобны с коэффициентом 2, поэтому По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

Следовательно,

Третий способ. а) Поскольку окружности касаются, у них есть общая касательная в точке . На этой касательной отметим такую точку что и лежат по разные стороны от прямой

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что и поэтому Следовательно,

б) Пусть уже известно, что а — биссектриса треугольника

Треугольники и подобны с коэффициентом 2, поэтому По формуле для квадрата биссектрисы треугольника и по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

откуда Следовательно,

Четвёртый способ. б) Пусть уже известно, что а — биссектриса треугольника

Тогда

По формуле для биссектрисы треугольника