17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Пусть – центр окружности, описанной около . Так как – касательная к окружности, проходящей через точку , то , следовательно, . Опустим из точки на перпендикуляр .

Так как центр описанной около треугольника окружности – это точка пересечения его серединных перпендикуляров, то – середина .

Точки , и лежат на одной прямой: в самом деле, , тогда прямые, содержащие и либо параллельны, либо совпадают, но они проходят через общую точку .

Таким образом, лежит на серединном перпендикуляре к , следовательно, равноудалена от концов отрезка и треугольник – равнобедренный (). Кроме того, .
 

Аналогично, . Так как сумма углов четырёхугольника равна , то , причём

откуда следует, что .

Кроме того, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых , и секущей . В итоге, два угла треугольника соответственно равны двум углам треугольника , следовательно, они подобны.

Замечание. Формально в рамках пункта а) треугольник может быть и остроугольным, а на рисунке он тупоугольный, однако, все рассуждения, приведённые выше, будут справедливы и для случая остроугольного треугольника .

б) , тогда .

В итоге