17.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Так как у треугольников и общая высота к основаниям и соответственно, то их площади относятся как их основания, то есть из следует равенство .
 

 

Тогда – медиана в треугольнике , которая является биссектрисой, откуда и – высота.

 

Аналогично из равенства и следовало бы, что , но , а не совпадает с , следовательно, и .

 

б)

 

Первый способ.
 

 

Обозначим , тогда

С другой стороны,

тогда

 

 

так как .

На самом деле здесь мы не ограничивая общности (т.е. к произвольному треугольнику можно применить те же рассуждения) выразили биссектрису треугольника через половину угла, из которого она выходит, и через стороны, заключающие этот угол.

Тогда аналогично , откуда

Второй способ.
 

 

По свойству биссектрисы треугольника :

Следовательно, можно обозначить , , где – некоторый коэффициент.

 

Аналогично для :

Следовательно, .

 

Теперь по этому же свойству для и биссектрисы имеем:

Следовательно, необходимо найти отношение .

 

По этому же свойству для и биссектрисы :