19.15 Среднее арифметическое и минимальная сумма

Обозначим числа через \[a_1>a_2>\ldots>a_n.\]

Запишем условие на среднее арифметическое: \[\begin{gathered} \frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5}=20\\ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=100 \end{gathered}\]

Все числа различны, значит, верны следующие оценки: \[\begin{aligned} &a_4\geqslant a_5+1\\ &a_3\geqslant a_4+1\geqslant a_5+2\\ &a_2\geqslant a_3+1\geqslant a_5+3\\ &a_1\geqslant a_2+1\geqslant a_5+4 \end{aligned}\]

Подставив их в условие на то, что сумма равна 100, получим: \[\begin{gathered} (a_5+4)+(a_5+3)+(a_5+2)+(a_5+1)+a_5\leqslant 100\\ 5a_5+10\leqslant 100\quad\Leftrightarrow\quad a_5\leqslant 18 \end{gathered}\]

Все \(n-5\) чисел \(a_6,\ldots,a_n\) по условию различны и все они меньше чем \(a_5.\) Очевидно, что количество различных натуральных чисел, меньших \(a_5,\) равно \(a_5-1.\) Тогда имеем неравенство \[n-5\leqslant a_5-1\leqslant 17 \quad\Leftrightarrow\quad n\leqslant22.\]

Пример: все натуральные числа от 1 до 22.