19.15 Среднее арифметическое и минимальная сумма
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две группы по 10 чисел в каждой. Каждое из чисел равно либо трем, либо четырем, либо пяти. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно 4, а во второй группе равно 4,5.
а) Может ли в первой группе быть ровно три четверки?
б) Может ли во второй группе быть ровно три тройки?
в) Какое наименьшее значение может быть у среднего арифметического всех троек и четверок из двух групп?
Сумма чисел в первой группе равна 
а во второй равна 
а) Допустим, что такое возможно, тогда сумма семи оставшихся чисел первой
группы равна 
и все они — тройки либо пятерки. Пусть
среди оставшихся чисел 
троек и 
пятерок. Получаем следующее
соотношение:
Однако 
должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.
б) Если такое возможно, то сумма семи оставшихся чисел второй группы
равна 
и все они — четверки либо пятерки. Пусть среди
оставшихся чисел 
четверок и 
пятерок. Получаем следующее
соотношение:
Однако 
должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.
в) Пусть в какой-то из двух групп две или больше четверок. Тогда возьмем две
любые четверки из этой группы и заменим на тройку и пятерку. После
этой операции среднее арифметическое чисел в группе не изменится. При
этом среднее арифметическое всех троек и четверок строго уменьшится.
Действительно, если было 
четверок и 
троек, то их среднее арифметическое
равно
После замены двух четверок одной тройкой среднее арифметическое станет равным
Видим, что числитель увеличился, а знаменатель уменьшился, значит, вычитаемая дробь увеличилась и среднее арифметическое строго уменьшилось.
Таким образом, при оптимальных наборах в каждой из двух групп не больше одной четверки.
Допустим, что в первой группе ровно одна четверка, тогда сумма девяти
оставшихся чисел первой группы равна 
и все они — тройки либо
пятерки. Пусть среди оставшихся чисел 
троек и 
пятерок. Получаем
следующее соотношение:
Однако 
должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.
Значит, при оптимальных наборах в первой группе нет четверок, ровно пять троек
и ровно пять пятерок.
Допустим, во второй группе нет четверок, тогда в ней 
троек и 
пятерок. Получаем
Однако 
должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.
Значит, при оптимальных наборах во второй группе ровно одна четверка. Снова
обозначим через 
количество троек, через 
количество пятерок,
получим
Таким образом, при оптимальных наборах во второй группе две тройки и семь пятерок. Посчитаем среднее арифметическое троек и четверок в оптимальном наборе:
а) Нет, не может
б) Нет, не может
в) 
| Содержание критерия | Балл |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
