Тема 17. Задачи по планиметрии

17.12 Теоремы Менелая и Чевы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по планиметрии

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33126

Через точку $P,$ лежащую на медиане $CC1$ треугольника $ABC,$ проведены прямые $AA1$ и $BB1.$ При этом точки $A1$ и $B1$ лежат на сторонах $BC$ и $CA$ соответственно. Докажите, что $A1B1 ∥ AB.$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Запишем теорему Чевы для треугольника $ABC :$

AB1-⋅ CA1-⋅ BC1 =1 B1C A1B C1A AB1-⋅ CA1 ⋅ 1= 1 B1C A1B 1 AB1- A1B- B1C = CA1

Отсюда по обратной теореме о пропорциональных отрезках получаем, что $A1B1 ∥AB.$

$PIC$

Способ 2.

Запишем теорему Менелая для треугольника $ACC 1$ и прямой $B B : 1$

AB1-⋅ CP--⋅ C1B-= 1 ⇔ AB1-⋅-CP-⋅ 1= 1 B1C PC1 BA B1C P C1 2 AB1 2P C1 B1C-= CP---

Запишем теорему Менелая для треугольника $BCC1$ и прямой $A1A :$

BA CP C A BA CP 1 A--1C ⋅PC--⋅A1B--= 1 ⇔ A-C1⋅P-C-⋅ 2 = 1 1 1 1 1 BA1-= 2P-C1- A1C CP

Из двух отношений получаем

AB1 :B1C = 2PC1 :CP = BA1 :A1C

Cледовательно, по обратной обобщенной теореме Фалеса $A1B1 ∥ AB.$

Ответ: Задача на доказательство

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse