17.13 Окружность. Хорды и касательные

Предположим, что прямая пересекает вторую дугу в точке и – не середина этой дуги. Отметим точку – середину дуги .

Рассмотрим и . Они равнобедренные, т.к. – радиусы окружности , – радиусы окружности .
 

Рассмотрим окружность . Т.к. угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то угол между касательной и хордой равен половине дуги (которая меньше полуокружности по рисунку). Обозначим . Следовательно, , т.к. он центральный, опирающийся на дугу , равную .

Рассмотрим окружность . Т.к. – середина дуги , то . Следовательно, в равнобедренном треугольнике – биссектриса. Следовательно, она и высота, то есть . Но (как радиус, проведенный в точку касания в окружности ), следовательно, обе прямые и перпендикулярны , следовательно, они параллельны.
Заметим, что т.к. окружности и касаются, то их центры и и точка касания лежат на одной прямой.

Таким образом, как соответственные углы при и – секущей.

Значит, . А т.к. точки лежат на одной прямой, то и точки лежат на одной прямой. Следовательно, совпадает с .