16.03 Банковский кредит: аннуитетный платеж

а) Пусть необходимо взять кредит на сумму рублей.

 

1) Составим таблицу для банка А, приняв за ежегодный платеж. Заметим, что каждый год после начисления процентов долг будет составлять от предыдущего долга, то есть будет увеличиваться в раз. Также заметим, что .

В конце 4-ого года (после платежа) долг выплачен полностью, то есть это значит, что

откуда

Знаменатель представляет собой сумму первых 4 членов геометрической прогрессии, где , а . Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получим:

Тогда величина показывает, какую часть составляет общая сумма выплат по кредиту от самого кредита :

2) Аналогично составим таблицу для банка Б (пусть – ежегодный платеж), заметив, что , а :

Поступая аналогично первому пункту, найдем

Тот банк, в котором общая сумма выплат составляет меньшую часть от кредита, и является наиболее выгодным банком. Таким образом, нам необходимо сравнить два числа:

Выполним сравнение, не вычисляя данные выражения:

Заметим, что . Значит, правая дробь больше левой. Таким образом, кредит в банке А выгоднее кредита в банке Б.

 

б) Переплата по выгодному кредиту равна . Значит, необходимо найти

После округления до целого числа получим .