18.10 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически

Распишем второе уравнение как .
Из данного равенства мы видим, что .
Выразим и подставим в первое уравнение:

1) Если , то первое уравнение системы становится линейным и . Следовательно, вся система , а значит и исходная система, имеет единственное решение.

 

2) Пусть . Тогда первое уравнение системы квадратное. Для того, чтобы оно имело решения, нужно, чтобы дискриминант :

2.1) Заметим, что если первое уравнение системы имеет одно решение, то есть , то этот корень не должен быть равен . Проверим это.
Если уравнение имеет одно решение, то и это решение равно

Найдем, при каких : Видим, что . Следовательно, при первое уравнение системы имеет одно решение, не равное , следовательно, и исходная система имеет одно решение.

 

2.2) Если первое уравнение имеет два решения, то есть

то одно из этих решений должно быть равно (тогда система будет иметь ровно одно решение, следовательно, и исходная система будет иметь одно решение).
Найдем, при каких первое уравнение имеет корень : Это значение параметра входит во множество . Следовательно, если первое уравнение имеет два (различных) корня (то есть при из множества ), то лишь при один из корней будет равен . Следовательно, система будет иметь одно решение, значит, и исходная система будет иметь одно решение.

Таким образом, система будет иметь единственное решение при