18.10 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически

Оба уравнения системы являются уравнениями квадратного типа. Рассмотрим отдельно случаи, когда коэффициент при у какого-то из уравнений равен нулю.

1) . Тогда первое уравнение примет вид . Это уравнение не имеет решений, следовательно, и вся система не имеет решений. Следовательно, нам не подходит.

2) . Тогда второе уравнение имеет единственный корень . Проверкой убеждаемся, что этот корень не является корнем первого уравнения. Следовательно, нам не подходит.

3) Тогда оба уравнения квадратные. Систему можно преобразовать: вычесть из второго уравнения первое и получить новую систему:

Если то первое уравнение системы запишется в виде что не имеет решений. Тогда можем выразить из обоих уравнений и приравнять:

Заметим, что и являются корнями этого уравнения. Следовательно, разделив в столбик на , получим:

Следовательно, все корни уравнения (*) — это .

4) Необходимо сделать проверку.

Если , то . Следовательно, система примет вид

Видим, что эти уравнения действительно имеют единственный общий корень .

Если , то . Тогда

Видим, что эти уравнения действительно имеют единственный общий корень .

Если , то . Если бы уравнения исходной системы имели еще один общий корень, то это значило бы, что все коэффициенты одного уравнения во сколько-то раз больше соответствующих коэффициентов другого уравнения. Но при данных это не выполняется, например, для старших коэффициентов и свободных членов:

Следовательно, в случае уравнения также имеют ровно один общий корень ; при имеют единственный общий корень .