18.10 Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически

Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем к общему знаменателю, тогда уравнение примет вид

Заметим, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. А уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда . Следовательно, уже можно сказать, что при уравнение не будет иметь решений.
Пусть . Тогда уравнение равносильно системе: Назовем последние три уравнения системы ОДЗ.
Рассмотрим два случая:

 

1) . Тогда первое уравнение системы имеет единственное решение . Заметим, что этот корень подходит под ОДЗ.

 

2) . Тогда первое уравнение системы имеет два корня: и . Заметим, что оба эти корня симметричны относительно (причем ).
Следовательно, чтобы вся система имела ровно одно решение, нужно, чтобы ровно один из этих корней не подходил под ОДЗ.

 

Рассмотрим отдельно случай, когда . Тогда ОДЗ: , а , . Этот случай нам подходит.

 

Пусть теперь . Тогда нужно, чтобы:
I. . Тогда ввиду симметричности корней . То есть уравнение будет иметь корень .
II. . То есть уравнение будет иметь корень .
III. . То есть уравнение будет иметь корень .
IV. . То есть уравнение будет иметь корень .

 

Таким образом:

Первые два уравнения совокупности, учитывая, что , не имеют решений, а третье и четвертое имеют решения и .

 

Оба эти значения подходят под условие .

 

Таким образом, окончательный ответ: